发布时间 : 星期三 文章18版高中数学第三章导数及其应用3.3.1函数的单调性与导数学案1_1更新完毕开始阅读e1e4f1286429647d27284b73f242336c1fb930c0
【导学号：97792044】
图3-3-2
【解析】 由函数的图象知：当x＜0时，函数单调递增，导数应始终为正；当x＞0时，函数先增后减再增，导数应先正后负再正，对照选项，只有D正确.
【答案】 D
[探究共研型]
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已知函数单调性求参数取值范围 探究1 在区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？ 【提示】 不一定成立.比如y＝x在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零.也就是说f′(x)＞0是y＝f(x)在某个区间上递增的充分条件.
探究2 一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有什么关系？ 【提示】
函数的单调性 单调递增 单调递减 常函数 已知函数f(x)＝x－ax－1， (1)若f(x)在区间(1，＋∞)内为增函数，求a的取值范围； (2)若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的值.
【精彩点拨】 (1)转化为f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，求a的范围； (2)由f′(x)＜0，求单调减区间，对比已知，求a的值.
【自主解答】 (1)因为f′(x)＝3x－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数， 所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x
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2
2
3导数 f′(x)≥0且f′(x)不恒为0 f′(x)≤0且f′(x)不恒为0 f′(x)＝0 5
在(1，＋∞)上恒成立，即a≤3.
(2)f′(x)＝3x－a.
①当a≤0时，f′(x)≥0，无减区间，不满足条件. ②当a＞0时，令3x－a＝0，得x＝±当－3a3a＜x＜时，f′(x)＜0. 33
2
2
3a； 3
因此f(x)在?－∴
??3a3a?，?上为减函数. 33?
3a＝1，即a＝3. 3
利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
1.将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意.
2.先令f′(x)＞0(或f′(x)＜0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意.
[再练一题]
3.(1)若函数f(x)＝x－在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是( ) A.a＞－2 B.a≥－2 C.a≤－2 D.a＜－2
【解析】 f′(x)＝2x＋2. 令f′(x)≥0，即2x＋2≥0，a≥－2x，
由于g(x)＝－2x在(1，＋∞)上满足g(x)＜g(1)＝－2， ∴要使a≥－2x在(1，＋∞)上恒成立，应有a≥－2.故选B. 【答案】 B
(2)若函数f(x)＝ax＋x－5在(－∞，＋∞)上单调递增，求a的取值范围. 【解】 f′(x)＝3ax＋1.
①当a＝0时，f(x)＝x－5在R上是单调递增的；
23
33
2
axaxax3
6
②当a≠0时，f′(x)＝0的根为有限个，因此要使函数f(x)在R上单调递增，只需f′(x)＝3ax＋1≥0在R上恒成立即可.
??a＞0，则???Δ≤0，
2
??a＞0，
即???0－12a≤0，
所以a＞0. 综上，a≥0.
1.下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A.y＝－x C.y＝x－x
xxx2
2
B.y＝xe D.y＝－x＋ln x
xx【解析】 对于y＝xe，y′＝e＋xe＝e(1＋x)>0， ∴y＝xe在(0，＋∞)内为增函数. 【答案】 B
2.已知二次函数f(x)的图象如图3-3-3所示，则其导函数f′(x)的图象大致形状是( )
x
图3-3-3
【解析】 根据图象可设f(x)＝a(x＋1)(x－1)(a<0)， 则f′(x)＝2ax(a<0).故选B. 【答案】 B
3.函数f(x)＝(x－1)e的单调递增区间是________. 【解析】 f′(x)＝(x－1)′e＋(x－1)(e)′＝xe， 令f′(x)＞0，解得x＞0，故f(x)的增区间为(0，＋∞). 【答案】 (0，＋∞)
4.若函数f(x)＝x＋x＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是_______.
【导学号：97792045】
7
3
2
xxxx【解析】 ∵f′(x)＝3x＋2x＋m，由题意知f(x)在R上单调递增， 1
∴Δ＝4－12m≤0，∴m≥. 31
【答案】 m≥ 3
e
5.设f(x)＝2，其中a为正实数.若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围.
2
x1＋ax2
【解】 对f(x)求导得f′(x)＝ex1＋ax－2ax＋ax22，
若f(x)为R上的单调函数，
则f′(x)在R上不变号，结合a＞0，知ax2
－2ax＋1≥0在R上恒成立， 因此Δ＝4a2
－4a＝4a(a－1)≤0， 由此并结合a＞0，知0＜a≤1. 即a的取值范围为(0,1].
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