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天津大学2007数学分析 - 1 - 天津大学招收2007年硕士学位研究生入
学考试试题
考试科目名称：数学分析
一、填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）
1． 极限limnn2n??(n!)? .
21/x?,?(cosx)2． 已知函数f(x)????a,x?0x?010在x?0处连续, 则a = .
3． 设f(x)连续,且f(x)?x?2?f(t)dt,则f(x)? . 4． 设函数y?y(x)是由方程ex?y?cos(xy)?0确定,则5． ???dydx? .
dx(x?7)x?2? .
??26. 设函数f(x)?x,0?x?1, 而S(x)?12?bn?1nsinn?x,???x???, 其中
bn?2?f(x)sinn?xdx,(n?1,2,...), 则S(?012)等于 .
7.
?1x?xlnx730dx? . 8. D是由直线x?0,y?x,y??2所围成的区域，则??Dsinyydxdy? . 2222?u?x?2y?z?z?z?z??0简化为?0,则常数9.设变换?,可把方程62?2v?x?ay?x?y?x?y?u?v?a? .
二、（本题7分）求极限lim1x????xx0{x?[x]}dx,其中[x]表示不超过x的最大整数.
三、（本题7分）计算无穷积分???0xen?xdx.
2四、（本题7分）在第一象限求曲线y??x?1上一点,使该点处的切线与所给曲线及两坐
标轴所围面积最小,并求此最小面积.
- 2 - 天津大学2007数学分析 五、（本题7分）设f(x)在[0,1]上连续且单调减少, 又设f(x)?0,求证对于任意的
0?????1,有??f(x)dx???0??0f(x)dx.
六、（本题7分）设f(x)连续, ?(x)?并讨论?'(x)在点x?0处的连续性.
?10f(xt)dt, 且limf(x)xx?0?A(A为常数), 求?'(x),
七、（本题8分）用闭区间套定理证明连续函数有界性定理，即若函数f(x)在闭区间?a,b?上连续, 则存在M?0, 对任意的x??a,b?, 都有f(x)?M. 八、（本题7分）计算曲线积分I?闭曲线并取逆时针方向. 九、（本题7分）计算I??xdy?ydx4x?y22, 其中L是不经过原点的任一光滑的简单
L???x(8y?1)dydz?2(1?y)dzdx?4yzdxdy, 其中?是由曲线
2??z?y?1, (1?y?3)绕y轴旋转而成的曲面, 它的法向量与y轴正向的夹角恒小???x?0于
?2.
十、（本题7分）设函数f(x)具有二阶导数, 且f??(x)?0,x?(??,??),函数g(x)在区间
[0,a]上连续(a?0). 证明:
1?aa0f(g(t))dt?f(1?aa0g(t)dt).