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3、基点选择不同，对运动分解的影响
ω A y'’ A x'’ ? y' B y'’ x'’ B y' x' 图中连杆AB作平面运动，可取点A或B为基点,点A作圆周运动，点B作水平直线运动，因此，平面图形上基点选择不同，其动参考系的平移是不同的，其速度和加速度是不相同的。
由图，AB连线绕A点和绕B点的转角，任一时刻相同，因此其角速度、角加速度也必然相同。
? x' 结论：平面运动可取任意基点分解为平移和转动，其中平移的速度和加速度与基点的选择有关，而平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关。
§8-2 求平面图形内各点速度的基点法
一、基点法
由前分析可知，任何平面图形的运动可分解为：牵连运动—随基点的平移；相对运动—绕基点的转动。于是，平面图形内任一点M的运动，可分解为：牵连运动—随基点的平移；相对运动—以基点为圆心的圆周运动。因此可用速度的合成定理来求M点的速度，这种方法
称为基点法。
vM 1、动点—M，动系—固定于基点o’的平移参
vMO’ 考系o’x’y’
2、运动分析 vO’ y’ ω 绝对运动：点M的平面曲线运动 M
vO’ 相对运动：点M绕基点o’的圆周运动
x’ O’ 牵连运动：o’x’y’随基点o’的平移
3、速度分析，画速度矢量图
va = ve + vr，即：vM =vo’+ vMo’
vMo’的大小：vMo’=O’Mω，方向⊥O’M，与ω一致。 结论：平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。
二、速度投影定理
定理——同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。 证：上图中，O’、M是图形内任意两点 vM =vo’+ vMo’
将上式在O’M连线上投影，则：
[vM] o’M=[vo’] o’M+[vMo’] o’M ∵[vMo’] o’M =0
∴[vM] o’M=[vo’] o’M，证毕。
例8.1 椭圆规尺的A端以速度vA沿x轴的负向运动，AB=l。求B端的速度及尺
AB的角速度。 y
解：AB作平面运动，取点A为基点，分析B点 vB vBA ? 速度，画速度矢量图，求解 B vB = vA + vBA vA 大小： ？ vA ？ ωAB 方向： 垂直 水平向左 ⊥AB
? 由图：vA/ vB=tg?，∴vB= vActg?，向上 vA O x vBAsin?= vA，∴vBA= vA/sin?，⊥AB，斜向上 A ωAB= vBA/l= vA/ lsin?，顺转。
例8.2平面四杆机构，OA=r=0.2m，AB=2r，ω=4rad/s，AB与水平方向夹角30°，∠ABC=90°。求此瞬时B点速度，AB、CB杆的角速度。
解：杆AB作平面运动，取A为基点，分析B点的 vBA vB 速度，画速度矢量图，求解。 30° B v AωAB vB = vA + vBA 大小： ？ ωr ？ A 30° vA ωBC 方向：⊥CB 水平向右 ⊥AB
ω 由图：vB=vAcos30°=ωr cos30°=0.69m/s 60° C O vBA = vAsin30°=ωr sin30°=0.4m/s ωAB = vBA/AB=1rad/s，逆转
vB?vB?1.5CB2rsin60?ωCB=rad/s，顺转
例8.3 平面机构，曲柄OA=0.1m，以匀加速度ω=2rad/s转动。连杆AB带动摇
杆CD，并拖动轮E沿水平面滚动。已知CD=3CB，图示位置时A、B、E三点恰在一水平线上，且CD⊥ED。试求此瞬时点E的速度。
解：vA=ωOA=0.2m/s
vD 由速度投影定理，平面运动杆件AB上，A、
B点速度在AB连线上的投影相等，有 D
vA= vBcos30° vB
得：vB=0.23m/s B vE 30° A 30° vA 摇杆CD绕C点转动，有 E ω 60° C vD=ωCDCD=( vB/BC)CD=3vB=0.69m/s O 由速度投影定理，平面运动杆件ED上，E、
D点速度在ED连线上的投影相等，有vEcos30°=vD，得vE=0.8m/s
§8-3 求平面图形内各点速度的瞬心法
研究平面图形上各点的速度，还可以采用瞬心法。求解问题时，瞬心法形象性更好，有时更为方便。
一、定理：一般情况下，每一瞬时，平面图形上都唯一存在一个速度为零的点。 证：取平面图形内点A为基点，其速度为vA vCA N 图形内任一点M的速度为：vM=vA+vMA C vMA 若M点在vA的垂线上，则vM=vA-ωAM
vA M 随M点位置不同，vM的大小不同，在AN上可找到
一点C，使vC=0，只需AC=vA/ω，证毕。 A ω vA 速度瞬心——某瞬时，平面图形内速度为0的点。
二、平面图形内各点的速度及其分布
设某瞬时，点C为平面图形的速度瞬心，vC=0，取点
vA C为基点 则平面图形上任一点A的速度：vA=vC+vAC=vAC A vA大小：vA=vAC=ωAC，方向：⊥AC，与ω一致
结论：平面图形内任一点的速度等于该点随图形绕速度瞬心
转动的速度。速度大小与该点到速度瞬心的距离成正比，速度方向垂直于该点到速度瞬心的连线，指向图形转动的一方。
平面图形上各点速度在某瞬时的分布情况，与图形绕定轴转动时各点的速度分布情况相类似。于是平面图形的运动可看成为绕速度瞬心的瞬时转动。在不同瞬时，速度瞬
C ω 心在图形内的位臵是不同的。
如果已知平面图形在某一瞬时的速度瞬心位臵和角速度，则在该瞬时，图形内任一点的速度可以完全确定。 三、速度瞬心位置的确定 1、平面图形沿一固定表面作无滑动的滚动 图形与固定面的接触点C相对于固定面的速度等于 v 零，所以它的绝对速度为零。 C 速度瞬心——图形与固定面的接触点C。
2、已知图形内任意两点A、B的速度方向
由平面图形内各点速度分布知，速度瞬心的位臵必在
没一点速度的垂线上。
速度瞬心——分别过A、B作两点速度的垂线，两垂线的交点即为速度瞬心。
vA B A vB A B A vA vB C ω B vA C ω vB ω C 3、已知图形上两点A、B的速度相互平行，且速度方向垂直于两点连线
速度瞬心—AB连线与两点速度矢量端点连线的交点。
A vA 4、某一瞬时A、B两点速度相等，即vA=vB vB 图形的速度瞬心在无穷远处，此瞬时图形的角速度为
B 零。图形上各点速度的分布如同图形作平移一样，但
此时各点加速度并不相同，故称瞬时平移。
例8.4 车轮沿直线轨道滚动而无滑动，已知大圆和小圆半径分别为R、r，v0，求
A1、A2、A3、A4各点速度。
A3 解：速度瞬心——点C vA3
车轮角速度：ω= v0/r，顺转
v A2 vA1=A1Cω=(R-r) v0/r
A 2
v0 A4 C vA1 A1 ω vA4
R2?r2v0rvA2=A2Cω=
vA3=A3Cω=(R+r) v0/r
R2?r2v0rvA4=A4Cω=，各点速度方向见图。
例8.5 平面四杆机构，OA=r=0.2m，AB=2r， ω=4rad/s，AB与水平方向夹角30°，∠ABC=90°。求此瞬时B点速度，AB、CB杆的角速度。 解：vA大小：vA=ωr，水平向右；vB⊥CB 作平面运动杆件AB的速度瞬心——CAB ωAB= vA/ACAB=ωr/4r=1rad/s，逆转
CAB ωAB B 30° v A Aω O vB ωBC 60° C vB= BCABωAB=23r?AB?0.69m/s，⊥CB向上
vB?1.52rsin60?ωCB= vB/CB=rad/s，顺转
§8-4 用基点法求平面图形内各点的加速度
1、动点—M，动系—固定于基点o’的平移参考系o’x’y’
2、运动分析 τaMO’ 绝对运动：点M的平面曲线运动 相对运动：点M绕基点o’的圆周运动 aO’ y’ n aMO’M 牵连运动：o’x’y’随基点o’的平移 α aO’ 3、加速度分析，画加速度矢量图 ω x’ O’ 因牵连运动为平移，有：aa=ae+ar，即：aM=ao’+aMo’
τ
+aMo’n
aMo’τ的大小：aMo’τ=O’Mα，方向⊥O’M，与α一致。 aMo’n的大小：aMo’n=O’Mω2，方向沿MO’，指向O’。
即：平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。
例8.6 曲柄连杆机构，OA=0.2m，AB=1m，ω=10rad/s(匀速)，OA与水平线成45°角，OA⊥AB。求此瞬时，杆AB的角速度与角加速度，B点的速度与加速度。
解：1、速度分析 C 作平面运动杆件AB的速度瞬心——C
ωAB=vA/AC=ωOA/AC=1030.2/1=2rad/s，顺转
vA A ω O aA ωAB
α
n AB η aBAτ
aBAaB v B
B aA ξ vB=BCωAB=22m/s，向左 2、加速度分析
取平面运动杆AB上的点A为基点
分析B点的加速度，画加速度矢量图，求解
aB = aA + aBAτ + aBAn
大小： ？ OAω2 ？ ABωAB2 方向： 水平 沿AO指向O ⊥AB 沿BA指向A 将加速度矢量方程在ξ与η轴上投影得：
-aBcos45°=0+0- aBAn -aBcos45°= - aA+aBAτ+0
解得：aB=2ABωAB2=42m/s2，向左
aBAτ= aA-aBcos45°= OAω2-4=16m/s2，⊥AB向上。 αAB=aBAτ/AB=16rad/s2，逆
例8.7 车轮沿直线只滚不滑，已知车轮半径为R，中心点O的速度为vo，加速
度为ao。求车轮上速度瞬 α α ω ω α ω A 心的加速度。 vA O τ v0 解：因车轮只滚不滑，所O aAO ann n 0 a0 aCOa0a0τ v0 以车轮与地面的接触点CC C a0 τ为车轮的速度瞬心 aCO C 车轮角速度：ω=vo/R，顺转
车轮角加速度：
??d?d?v0?1dv0a0?????dtdt?R?RdtR，顺因越转越快α与ω转向一致