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取点O为基点，分析瞬心C的加速度，画加速度图，求解
aC = aO + aCOτ + aCOn
大小： ？ aO Rα=aO Rω2 方向： ？ 向右 向左 向上
因aO与aCOτ等值、反向，所以aC=aCOn，大小：Rω2，方向：向上。 可见，速度瞬心C的加速度不等于零，加速度指向轮心O。
讨论：如车轮沿曲线轨道作纯滚动，则接触点C为车轮的速度瞬心，如车轮的角速度为ω，角加速度为α，则轮心的速度为vo，大小为Rω，方向垂直于OC，与车轮转向一致。轮心的加速度为ao，因轮心作曲线运动，加速度可分切向与法向加速度，切向加速度与速度方向一致，因车轮角加速度：
?d?d?v0?1dv0ao?????R，所以：aoτ=Rα， α=dtdt?R?Rdtd?d?vA?1dvAa????A??CA，所以：aAτ=CAα，点A为OC上的一点 同样α=dtdt?CA?CAdt取点O为基点，分析瞬心C的加速度，同样可得速度瞬心C的加速度不等于零，加速度方向沿接触处的公法线。
动 力 学
在静力学中，分析了物体在力系作用下的平衡问题，但没有分析物体在不平衡力系作用下将如何运动。在运动学中，仅从几何方面分析了物体的运动，而不涉及所作用的力。
动力学——研究物体的机械运动与作用力之间的关系。 本篇将研究质点和质点系的动力学。
质点——具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略的物体。例研究人造地球卫星轨道时，卫星的形状和大小对所研究的问题没有什么影响，可以忽略不计，可将卫星抽象为质量集中在重心的质点。刚体作平移时，因刚体内各点的运动情况完全相同，也可以不考虑这个刚体的形状和大小，而将它抽象为一个质点来研究。
如果物体的形状和大小在所研究的问题中不可忽略，则物体应抽象为质点系。 质点系——由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。刚体是质点系的一种特殊情形，其中任意两个质点间的距离保持不变。也称为不变的质点系。
第九章 质点动力学的基本方程
教学要求：
1、掌握动力学的基本定律；
2、能应用质点的运动微分方程求解质点动力学的两类基本问题。
§9-1 动力学的基本定律
质点动力学的基础是三个基本定律，这些定律是牛顿在总结前人、特别是伽利略研究成果的
基础上提出来的，称为牛顿三定律。
第一定律(惯性定律)
不受力作用的质点(包括受平衡力系作用的质点)，将保持静止或匀速直线运动。
不受力作用的质点(包括受平衡力系作用的质点)，不是保持静止，就是作匀速直线运动，这种性质称为惯性，故又称惯性定律。
第二定律(力与加速度之间关系的定律)
质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力，加速度的方向与力的方向相同， 即 ma=F——质点动力学的基本方程
第三定律(作用与反作用定律)
两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等、方向相反、沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。
这一定律就是静力学的公理四，它不仅适用于平衡的物体，也适用于任何运动的物体。 牛顿三定律是在观察天体运动和生产实践中的一般机械运动的基础上总结出来的，因此有一定的适用范围。三定律适用的参考系称为惯性参考系。在一般工程问题中，把固定于地面或相对地面作匀速直线平移的坐标系作为惯性参考系。本书，如无特殊说明，均取固定在地球表面的坐标系为惯性参考系。
以牛顿三定律为基础的力学，称为古典力学(又称经典力学)。在古典力学范围内，认为质量是不变的，空间和时间是“绝对的”，与物体的运动无关。近代物理已证明，质量、时间和空间都与物体的运动速度有关，但当物体的运动速度远小于光速时，物体的运动质量、时间和空间的影响是微不足道的。对一般工程中的机械运动问题，应用古典力学都可得到足够精确的结果。
§9-2 质点的运动微分方程
一、矢量式
d2rm2??Fidt质点受几个力作用时，由牛顿第二定律，有：ma=∑Fi 或
上式是矢量形式的微分方程，在计算实际问题时，需用它的投影式。 二、直角坐标轴上的投影式 三、自然轴上的投影式
?d2xdv?ma?m??F??max?m2??Fx??dtdt?2?2dy?v??may?m2??Fy??Fn?man?mdt???2?ma?mdz?F?mab?0??Fb?zz2?dt?? ∵a=aττ+ann，ab=0∴?
§9-3 质点动力学的两类基本问题
第一类：已知质点的运动，求作用于质点的力； 第二类：已知作用于质点的力，求质点的运动。
例9.1 曲柄连杆机构，曲柄OA以匀角速度ω转动，OA=r，AB=l，当λ=r/l较小时，
??2?????x?l?1??rcos?t?cos2?t????4??4?，?以O为坐标原点，滑块B的运动方程近似为：
滑块质量为m，忽略摩擦及AB杆质量，求当?=ωt=0和π/2时，连杆AB所受的力。
解：1、取滑块B研究，受力与运动分析如图 FN 2、运动微分方程在x轴上的投影 F A B ax y max=∑Fx= -Fcosβ ω
B O mg ? β x d2xax?2??r?2?cos?t??cos2?t?dt
2ωt=0时，ax??r??1??t?，且β=0，
得F=mrω2(1+λ)
22222ωt=π/2时，ax?r??，cos??l?rl，得F??mr?l2?r2
上例属于质点动力学第一类问题。
例9.2 物块在光滑水平面上并与弹簧相联，物块质量为m，弹簧刚度系数为k，在弹簧拉长变形量为a时，释放物块。求物块的运动规律。 解：1、取物块研究，弹簧伸长x处，物块受力与运动分析如图 2、物块沿x轴的运动微分方程
F 0 x FN 以弹簧未变形处为坐标原点
ax x mg d2xmax??Fx，mdt2??F??kx
2dx2k2??x?0?n?n2m，则：dt令：
此微分方程的通解：x?Acos??nt???
3、由初始条件定积分常数A，θ 由t=0时，x=a，得a=Acosθ
由t=0时，v=0，即v=dx/dt= -Aωnsin(ωnt+θ)=0，得Aωnsinθ=0 ∴θ=0，A=a
∴物块的运动方程为：x=acosωnt
T?物块作简谐振动，振动中心在原点O，振幅为a，周期为
2??n?2?mk
上例为质点动力学第二类基本问题，还有些工程问题是第一、第二类问题综合在一起的混合问题。
例9.3 一圆锥摆，小球质量m=0.1kg，悬挂于长为l=0.3m的细绳上，绳重不计，绳与铅直线成θ=60°，小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度与绳的拉力。
解：1、取小球研究，对小球受力与运动分析
小球受重力和绳子拉力作用；小球作圆周运动，小球法向加速度an=v2/lsinθ θ l
F b n τ v mg
2、质点运动微分在自然轴上投影：
v2man??Fn，mlsin??Fsin?
?Fb?0，Fcos??mg?0
3、求解 绳中拉力：
F?mg0.cos??1?9.80.5?1.96N
小球的速度：
v?Flsin2?1.96?0.3?0.75m?0.1=2.1m/s