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第十章 动量定理
教学要求：
1、理解并能计算动力学中的基本物理量：动量和冲量；
2、理解并能运用动量定理、质心运动定理求解简单的动力学问题。
对于质点系，可以逐个质点列出其动力学基本方程，但联立求解很复杂。动量、动量矩和动能定理从不同的侧面揭示了质点和质点系总体的运动变化与其受力之间的关系，可用以求解质点系动力学问题。动量、动量矩和动能定理统称为动力学普遍定理。本章将阐明及应用动量定理。
§10-1 动量与冲量
一、动量
物体间往往有机械运动的相互传递，物体传递机械运动时，其相互作用力不仅与物体的速度变化有关，而且与它们的质量有关。例，子弹质量虽小，但速度很大，当遇到障碍物时，会产生很大的冲击力；轮船靠岸时，速度虽小，但质量很大，操纵稍有疏忽，足以将船撞坏。据此，可以用质点的质量与速度的乘积，来表示质点的这种运动量。
质点的动量：mv，矢量，方向与v一致，单位：kg?m/s 质点系的动量：p=∑mivi，
?mrc??miri??mvc??mivimri?rc??ma??maii m质心坐标的矢量式：， ∴?c∴p??mivi?mvc——质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。
例10.1 下图均质轮与均质杆的质量为m，质心速度大小为vc，求动量。
vC ω O C ω vC
p= mωl/2 方向⊥杆见图
C C p= mvc
v m2v2 p= mvc=0
p= mvc 例10.2 已知m1=2m2=4m3=4m，θ=45°，v，求质点系的动量。
解：p=∑mivi= m1v1+ m2v2+m3v3 y
m3v3
m3
θ m2 px?m2v2?m3v3cos??2mv?mv?m1 m1v1
=2.707mv
22
x
py??m1v1?m3v3sin???4mv?mv?= -3.293 mv
p?22
22px?py?4.263mv
pypx??0.7725cos???0.635cos??pp方向：，，α= -50.58°，β= -140.58°
二、冲量
物体在力的作用下引起的运动变化，不仅与力的大小和方向有关，还与力作用的时间长短有关。 常力的冲量：I=Ft，矢量，方向与F一致，单位：N?s，冲量与动量的量纲相同
力是变量：元冲量：dI=Fdt，在时间t内的冲量：
§10-2 动量定理
一、质点的动量定理
dvdma?m??mv??Fdtdt由牛顿第二定律：
或d(mv)=Fdt——质点动量定理的微分式 即：质点动量的增量等于作用与于质点上的元冲量
积分上式，如时间由0到t，速度由v0到v，得：
I??Fdt0t
mv?mv0??Fdt?I0t——质点动量定理的积分形式
即：在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点的力在同一段时间内的冲量。
二、质点系的动量定理
?e??i???dmv?F?Fdt iiii对每个质点：
??Fi?e?—外力，外界物体对该质点作用的力， Fi?i?—内力，质点系内其它质点对该质点作用的力
????????dmv?Fdt?Fdt?Fdt因内力等值、反向成对出现 ????对质点系：
????dp?Fdt?dI??即：—质点系动量定理的微分式
eieiiiiieeii即：质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和
dp??Fi?e?或：dt即：质点系的动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和
积分上式，如时间由0到t，动量由p0到p，得：
p?p0??Ii?e?—质点系动量定理的积分形式
即：在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和。
动量定理是矢量式，在应用时应取投影式：
dpydpxdpz?e???Fx??Fz?e???Fy?e?dt，dt，dt
?e??e??e?p?p?Ipx?p0x??Ixp?p?I??y0yyz0zz，，
例10.3 电动机的外壳固定在水平基础上，定子质量为m1，质心位于转轴的中心O1，转子质量为m2，由于制造误差，转子偏心距为e。转子以角速度ω匀速转动。
求基础的水平与垂直约束力。
y 解：1、取电机整体研究，受力运动分析如图
p=p定子+p转子=p转子
p= m2ωe，方向如图 O1C ω px=m2ωecosωt，py=m2ωesinωt， x e p
m1g ? 2、由动量定理投影式 O2 FyC m2g dpx??Fx2MC F?m?esin?t?Fx xC dt2，
??Fym?2ecos?t??mg?mg?F12y dt，23、求解得
2Fx??m2?2esin?t，Fy??m1?m2?g?m2?ecos?t
dpy电机不转时，基础只有向上的约束力(m1+m2)g，为静约束力；电机转动时的基础约束力为动约束力。动约束力与静约束力的差值是由于系统运动产生的，称为附加动约束力。
三、质点系动量守恒定律
dp?e??e??F?若?F?0，则由dt，知p=p0=常量 若?Fx?e?dpx?e??F?0?x?0，则由dt，知px=p0x=常量
如果作用于质点系的外力的主矢等于零，质点系的动量保持不变；如果作用于质点系的外力主矢在某
一坐标轴上的投影恒等于零，质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不变。
质点系动量守恒的现象很多，例子弹与枪体组成的质点系，射击前，动量等于零，射击时子弹获得向前的动量，而枪体则获得向后的动量(反座现象)，当枪在水平方向没有外力时，这个方向总动量保持为零。再如，静水中有一不动的小船，人与船组成一质点系，当人从船头走向船尾时，船身则向船头方向移动。
例10.4 物块A可沿水平面自由滑动，其质量为mA，小球B的质量为mB，以细杆与物块铰接，杆长为l，质量不计，初始系统静止，并有初始摆角?0，释放后，细杆近似以?=?0cosωt规律摆动，ω为常数，求物块A的最大速度。
解：1、取整体研究，受力分析知，系统水平方向不受外力
v A 作用，所以系统沿水平方向动量守恒
2、运动分析
? vr B
细杆角速度为：?????0sin?t
当sinωt=1，cosωt=0，?=0，细杆在铅垂位置，小球相对
.?物块有最大的水平速度，大小为：vr?l?max?l??0
设这时物块向右的绝对速度的大小为v，则小球向左的绝对速度的大小为：vr-v 3、根据动量守恒定律，列方程
ml??0mBvrv??BmA?mBmA?mB px=p0x=0， mAv-mB(vr-v)=0，得：
mBl??0当sinωt= -1，也有?=0，此时物块有向左的最大速度：mA?mB
§10-3质心运动定理
一、质心运动定理
dpdpd??Fi?e???mvc??macdtdtdt由质点系动量定理：，∵
?e?ma?F∴c?—质心运动定理
即质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和。
上式与质点的动力学基本方程相似，质心运动定理也可叙述如下：质点系质心的运动，可以看成为一个质点的运动，设想此质点集中了整个质点系的质量及其所受的外力。 例：爆破山石时，石块向四处飞落，见书P251，在碎石落地前，全部石块的质心运动与一个抛
ma??F射质点的运动一样，根据质心运动轨迹，可在定向爆破时，预先估计大部分石块堆落的地方。 上式是的矢量式，应用时取投影式：
直角坐标轴上的投影式：macx=∑Fx(e)，macy=∑Fy(e)，macz=∑Fz(e)
dvc?e???F??e?F?0 ??bdt自然坐标轴上的投影式：，，
例10.5 均质曲柄AB长r，质量为m1，假设受力偶y b 作用以不变的角速度ω转动，并带动滑槽、连杆及
ω
B 活塞D，滑槽、连杆及活塞的总质量为m2，质心在 x A ? 点C。滑块B质量不计，在活塞D上作用一恒力F，
F Fx C 不计摩擦，求作用在A处的最大水平分力。 D 解：1、取整体研究，水平方向受力如图 2、质心运动定理在x轴上的投影式
(e)
macx=∑Fx，(m1+m2)acx=Fx-F
rm1cos??m2?rcos??b?d2xc?r?2?m1?2xc?acx???m?2?cos?t2m1?m2m?m2dt?12?，
mvc2??Fn?e?m?m??m?Fx?F?r?2?1?m2?cos?tFxmax?F?r?2?1?m2??2??2? 解得：，最大水平分力：
二、质心运动守恒定律
dvc?e?a??0?e?cma?FF?0??cdt若，由，知，vc=常量，若t=0时，vc=0，则drcdvcx?e??e?a??0cxF?0ma?F??xcxxdt，知rc=常量；若dt由，则由，知，
dxvcx?cdt，知xc=常量 vcx=常量，若t=0时，vcx=0，则由vc?如作用于质点系的外力主矢恒等于0，则质心做匀速直线运动，若开始静止，则质心位
臵始终保持不变。如作用于质点系的外力在某轴上投影的代数和恒等于0，则质心在该轴上的速度的投影保持不变，若开始时速度投影等于0，则质心沿该轴的坐标保持不变。
例10.6 在静止的小船上，一个站在船头的人想上岸，小船质量m1=210kg，人质量m2=70kg，船头距岸0.8m，人的步长为0.8m，水的阻力不计。求：人能否上岸，差多少？
解：1、取船和人整体研究，受力分析知，系统
y 水平方向外力为0，又因开始静止，因此系统质
x o 心在水平轴上的坐标保持不变
2、列方程求解：xc1= xc2 0.8m l m?0.8?l/2??m2?0.8xc1?1
m1?m2 y m1?s?0.8?l/2??m2??s?0.4?x o x? c2m1?m2
s 0.8m l ∴m230.4=(m1+m2)s
70?0.4s??0.1210?70∴m ∴人不能上岸，差0.1m。