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M △s M’ △r r r' v?lim速度的大小等于动点的弧坐标对时间的一阶导数的绝对值。
?r?sds?lim??t?0?t?t?0?tdt
dsdsdt是代数量，以v表示：v=dt dsdt>0时，则s值随时间增加而增大，点沿轨迹正向运动；
dsdt<0时，点沿轨迹负向运动。绝对值表示速度的大小，正负号表示点沿轨迹运动的方向。
ds∴ v=vτ=dtτ
四、点的切向和法向加速度
dvdvdτa??τ?vdtdtdt
上式右端两项都是矢量，第一项反映速度大小的变化，第二项反映速度方向的变化。
dv1、aτ=dtτ——切向加速度，反映速度大小的变化
显然aτ沿轨迹的切向，因此称切向加速度。 dvdv当dt?0时，aτ指向轨迹正向，当dt＜0时，aτ指向轨迹负向。 2、an=(v2/ρ)n——法向加速度，反映速度方向的变化
dτ v△s an= dt——它反映了速度方向τ的变化。 τ M △? M’ dτdsdτ τ’ v?v2ds an=dsdt △τ τ’ 当△s→0时，△?→0，△τ与τ垂直，△τ在密切面内，指向轨迹内凹的一侧，即沿主法线的正向。
|△τ|≈△? dτ?τ??1?lim?limn?n? ∴ds?s?0?s?s?0?sρ——曲率半径
v2∴an=?n，大小：an= (v2/ρ)，方向：沿主法线，指向曲线内凹的一侧
3、全加速度：a=aτ+an= aττ+an n aτ=dv/dt，an = v2/ρ，ab =0
由于切向与法向加速度均在密切面内，所以全加速度也在密切面内，加速度沿副法线方
向的分量为零。 aτ τ aτ τ 22a?a??an 全加速度的大小：θ θ 方向，与法线间夹角的正切：tgθ= aτ/ an
an a 当aτ=恒量，动点作曲线匀变速运动 an a 当aτ=0，动点作曲线匀速运动。
例5.2 已知：R，?=ωt，t=0时?=0。试用自然法写出M点的运动方程，并求速
度和加速度。
解：取动点M的起点为弧坐标原点。 B 运动方程：s=2?R=2ωtR=2Rωt
速度大小：v=ds/dt=2Rω s (+) 2? 方向：沿轨迹切线，斜向上。 ? A 加速度： O 切向：aτ=dv/dt =0
法向：an= v2/ρ=4R2ω2/R=4Rω2 指向大圆中心
全加速度：a=aτ+an= an，大小：4Rω2，指向大圆中心。
v M
第六章 刚体的简单运动
教学要求
1、掌握刚体平移的定义及其运动特性，理解平移刚体可以简化为点的运动来研究； 2、掌握刚体定轴转动的转动方程、角速度和角加速度的概念及匀速、匀变速转动的计算； 3、熟练掌握定轴转动刚体上任一点的速度和加速度公式，会计算转动刚体上任一点的速度和加速度。
刚体是由无数点组成的，在点的运动学的基础上可研究刚体的运动，研究刚体整体的运动及其与刚体上各点运动之间的关系。本章将研究刚体的两种简单运动——平移和定轴转动，这是工程中最常见的运动，也是研究复杂运动的基础。
§6-1 刚体的平行移动
一、刚体的平行移动
简称平移——如果在物体内任取一直线段，在运动过程中这条直线段始终与其最初位置平行。
例：汽缸内活塞的运动、车床上刀架的运动、荡木的运动等。
二、平移刚体上各点轨迹、速度、加速度间的关系
任取刚体内一线段AB，∵刚体作平移，∴AB为恒z B1 B2
矢量，AB、A1B1、A2B2?平行相等，折线AA1A2?B 与BB1B2?形状相同，当△t→0时，A、B的轨迹形rB 状相同 A A1 A2 rA 如图：rB=rA+AB O y 上式两边对时间t求导得：drB/dt=drA/dt ∴vB=vA
x 上式两边再对时间t求导得：aB=aA
结论：平移刚体上各点的轨迹形状相同；在每一瞬时，各点的速度、加速度也相同。
因此，研究刚体的平移，可归结为研究刚体内任一点的运动。
例6.1 荡木用两条平行钢索平行吊起。钢索长l，当荡木摆动时，钢索的摆动规律为?=?0sin(π/4)t。试求当t=1s时，荡木中点M的速度和加速度。
解：因为荡木作平移，荡木各点运动相同，所以研究
O2 M点的运动只需研究A点的运动。 O1 A点轨迹为圆弧，以最低点为起点，向右为正。 l l ? an A点运动方程：s= l?= l ?0sin(π/4)t an v aτ v B A点速度：v=ds/dt=(π/4) l ?0cos(π/4)t A aτ M 2O A点切向加速度：aτ=dv/dt= -(π/16)l?0sin(π/4)t （+） A点法向加速度：an= v2/l=(π2/16) l?02 cos2(π/4)t
当t=1s时，A点，也即M点的速度和加速度为：
v=(π/4) l ?0cos(π/4)，aτ= -(π2/16)l?0sin(π/4)，an=(π2/16) l?02 cos2(π/4)
§6-2 刚体绕定轴的转动
一、刚体绕定轴的转动
简称刚体的转动——刚体在运动时，其上或其扩展部分有两点保持不动。 转轴——通过这两个固定点的不动的直线称为刚体的转轴或轴线，简称轴。
例：机床主轴、轴上齿轮、电机转子等。
二、运动方程、角速度、角加速度
z 为确定转动刚体的位臵，过转轴作一固定的参考面、作一与刚体固结的动平面，两平面间的夹角，称为转角。
? 刚体位置：转角?，用弧度(rad)表示 运动方程：?=f(t)
角速度：ω=d?/dt，单位：rad/s
角加速度：α=dω/dt= d2?/dt2，单位：rad/s2
?、ω和α均为代数量，按右手螺旋法则，拇指指向z轴正向为正，反之为负。
ω与α同号，加速转动；异号，减速转动。
讨论两种特殊情况： (1)匀速转动，ω=常量
?=?0+ωt，?0为t=0时的转角。 (2)匀变速转动，α=常量
ω=ω0+αt，?=?0+ω0t+αt2/2，?0、ω0为t=0时的转角和角速度。
§6-3 转动刚体内各点的速度和加速度
当刚体绕定轴转动时，刚体内任意一点都作圆周运动，圆心在轴线上，圆周所在的平面与轴线垂直，圆周的半径等于该点到轴线的垂直距离，因此，宜采用自然法研究各点的运动。
ω 一、速度 O’ O ω 设刚体由定平面A绕定(+) A 轴O转动任一角?，到 R v 达B位臵。其上任一点 ? v O’，运动到M。以O’为弧
M s 坐标的原点，规定正方
向。则：
B s=R?
上式对t求导得速
度：
v=Rω，⊥OM，指向转动的一方
转动刚体上任一点的速度大小等于刚体的角速度与该点到轴线垂直距离的乘积，方向沿圆周切线指向转动的一方。
aτ θ a an 二、加速度
α 切向：大小：aτ=dv/dt=Rdω/dt=Rα ω 方向：沿轨迹切线，即⊥OM，指向与α一致 法向：大小：an= v2/ρ=(Rω)2/R= Rω2 θ 方向：沿MO指向点O。
2224a?a?a?R????n全加速度：大小：a=
方向：tgθ= aτ/ an=α/ω2
例6.2直径为d的轮子作匀速转动，每分钟转数为n。求轮缘各点的速度和加速度。
解：v=Rω=(d/2)(2πn/60)=πdn/60 aτ= Rα=0
an= Rω2=(d/2)(2πn/60)2=π2n2d/1800
6-4 轮系的传动比
v M an ω
工程中，常利用轮系传动提高或降低机械的转速，例齿轮系、带轮系。