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高考数学二轮复习专题四立体几何第3讲空间向量与立体几何专题
强化训练134
第3讲 空间向量与立体几何
专题强化训练
1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为CD和C1C的中点，则直线AE与D1F所成角的余弦值为( )
1
A. 33C. 5
2B. 53D. 7
解析：选B.以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)．若棱长为2，则A(2，0，0)、E(0，1，0)、D1(0，0，2)、F(0，2，1)．
→＝(2，－1，0)，D→所以EA1F＝(0，2，－1)， →，D→cos〈EA1F〉＝
2
＝＝－.
→→55·5|EA||D1F|→·D→EA1F－2
2
则直线AE与D1F所成角的余弦值为.
5
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面
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强化训练134
A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( )
1A. 23C. 3
2B. 32D.
2
解析：选B.以A为原点建立如图所示的空间直角坐
?1??
标系A-xyz，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E?1，0，? ?，2??
D(0，1，0)，
→所以A1D＝(0，1，－1)，
?1??→A1E＝?1，0，－??， 2??
设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，
y－z＝0，????y＝2，则?1所以?
?1－z＝0，?z＝2.??2
所以n1＝(1，2，2)．
因为平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)， 22
所以cos〈n1，n2〉＝＝.
3×132
即所成的锐二面角的余弦值为.
3
3．(·浙江省十校联合体期末联考)在三棱锥O-ABC中，已知OA，
OB，OC两两垂直且相等，点P、Q分别是线段BC和OA上的动
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强化训练134 11
点，且满足BP≤BC，AQ≥AO，则PQ和OB所成角的余弦的
22取值范围是( )
?2?
??A.?，1? ?2??325?
?
C.? ，?3?5??
?3?
??B.?，1? ?3??225?
?
D.? ，?2?5??
解析：选B.根据题意，以O为原点，建立如图所示→＝的空间直角坐标系，不妨设OA＝OB＝OC＝2，OB(2，0，0)，设
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P(x，y，0)，Q(0，0，z)，因为BP≤BC，AQ≥AO，所以1≤x≤2，
22→＝(－x，x－2，z)，|cos〈OB→，0≤y≤1且x＋y＝2，0≤z≤1，PQ→·PQ→??OB→〉|＝PQ?→?
→
?|OB|·|PQ|?
?＝???
??
22?， 2x－4x＋4＋z?
－x3→→当x＝1，z＝1时，|cos〈OB，PQ〉|＝； 325→→当x＝2，z＝1时，|cos〈OB，PQ〉|＝； 5→，PQ→〉|＝1.
当x＝2，z＝0时，|cos〈OB3 / 16
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强化训练134 2→→当x＝1，z＝0时，|cos〈OB，PQ〉|＝，结合四个选项可2
?3??
知PQ和OB所成角的余弦的取值范围是?，1?. ?
?3?
4．(·宁波市镇海中学高考模拟)在直三棱柱A1B1C1-ABC中，∠π
BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1，已知G和E分别为A1B1和CC1的
2中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)，若
GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为( )
?5?
?
A.?，1?5? ???25???C.?，1? ?5?
?5?
?
B.?，1?5? ???25???D.?，1? ?5?
解析：选A.建立如图所示的空间直角坐标系，则
??1?1????
A(0，0，0)，E?0，1，?，G?，0，1?，F(x，0，?2???2?
0)，D(0，y，0)，
由于GD⊥EF，所以x＋2y－1＝0，
DF＝x＋y＝
2
2
?2???215?y－?＋，
5?5?
1
由x＝1－2y>0，得y<，
2
21
所以当y＝时，线段DF长度的最小值是，
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