发布时间 : 星期二 文章离散数学第二版邓辉文编著第一章第三节习题答案更新完毕开始阅读e2a44c3410661ed9ad51f388
1.3 运算的定义及性质
习题1.3
1.分别判定取绝对值运算||、加法运算+、减法运算-、取大运算max、取小运算min是否为自然数集合N上的代数运算.
解 因为对于任意x?N，|x|?N，所以取绝对值运算||是N上的1元代数运算.
n(x,y)?N，因此加法运算+、又因为对于任意任意x,y?N，有x?y,max(x,y),mi取大运算max、取小运算min是自然数集合N上的2元代数运算.
而对于2,3?N，由于2?3??1?N，所以减法运算-不是自然数集合N上的2元代数运算.
2.证明: 集合A?{3n|n?N}关于数的加法运算不封闭.
证 由于31,32?A，而3?3?12?A，所以A关于数的加法运算不封闭. 3.设A?{a,b,c}，求出A上的2元代数运算的个数.
解 考虑A关于2元代数运算*的运算表，在运算表中需要填运算结果的有
123?3?9个位置，而显然每个位置填a,b,c中任意一个元素均可，于是任意一种填
充元素的方法都是A上一种代数运算，因此A上的2元代数运算的个数为3.
4. 将十进制数365转换成八进制.
解 因为365 = 45 ? 8 + 5，45 = 5 ? 8 + 5，于是
9365?45?8?5?(5?8?5)?8?5?5?82?5?8?5，
因此，365 = (555)8.
5. 分别计算16(mod 3)，-16(mod 3)，0(mod 3).
解 因为16 = 5 ? 3 + 1，-16 = (-6) ? 3 + 2，0 = 0 ? 3 + 0，所以16(mod 3) = 1，-16(mod 3) = 2，0(mod 3) = 0.
6. 利用素因数分解计算gcd(36, 48)和lcm(36, 48).
解 因为36 = 22 ? 32， 48 = 24 ? 3，于是gcd(36, 48) = 22 ? 3 = 12，lcm(36, 48) = 24 ? 32 = 144.
7. 使用欧几里得算法，计算gcd(14, 158) 并求出整数x和y使得gcd(14, 158) = 14x + 158y.
解 因为158 = 11 ?14 + 4, 14 = 3 ? 4 + 2, 4 = 2 ? 2, 所以gcd(14, 158) = 2. 由于 2 = 14 - 3 ? 4，4 = 158 - 11 ?14, 于是2 = 14 - 3 ? (158 - 11 ?14) = 14 ? 4 + 158 ? (-3).
8.设A?{1,2,3},试根据所给定的运算表分别讨论其幂等性、交换性以及是否有单位元素，若有，请指出A中各元素的逆元素.
表1.1 表1.2
*123112322233332
*123112322223313
解 (1)在表1.1中，由于3*3=2，于是*不满足幂等性. 因为*运算表是对称的，所以*满足交换性. 又因为对于任意x?A，有1* x = x * 1 = x，因此1是*运算的单位元素. 从运算表可知，1的逆元为1，2和3都没有逆元.
(2)在表1.2中，由于对于任意x?A，有x*x?x，于是*满足幂等性. 因为2*3?2?3*2?1，所以*不满足交换性. 又因为对于任意x?A，有1* x = x * 1 = x，因此1是*运算的单位元素. 从运算表可知，1的逆元为1，2和3都没有逆元(3的右逆元为2，2的左逆元为3).
9.整数集合Z上的取大运算max和取小运算min相互可吸收. 试证明之.
证 由于max和min运算可交换，且对于任意x,y?Z，无论x?y,x?y还是x?y，显然都有
max(x,min(x,y))?x
以及
min(x,max(x,y))?x，
所以Z上的取大运算max和取小运算min相互可吸收.
10.设R[x]表示实数集R上的所有关于x的一元多项式组成的集合，试验证： (1)多项式的加法运算和多项式的乘法运算均满足结合律. (2)多项式的乘法运算对多项式的加法运算可分配. 解 (1)对于任意A(x),B(x),C(x)?R[x]，显然有
(A(x)?B(x))?C(x)?A(x)?(B(x)?C(x))，
(A(x)B(x))C(x)?A(x)(B(x)C(x))，
所以多项式的加法运算和多项式的乘法运算均满足结合律.
(2)对于任意A(x),B(x),C(x)?R[x]， 由于多项式的乘法运算满足交换律且显然有
A(x)(B(x)?C(x))?A(x)B(x)?A(x)C(x)，
多项式的乘法运算对多项式的加法运算可分配.
11.设Mn(R)表示实数集R上的所有n阶方阵组成的集合， (1)试验证：矩阵的乘法运算对矩阵的加法运算可分配.
(2)Mn(R)关于矩阵乘法的单位元素是什么? Mn(R)中哪些元素关于乘法运
算有逆元?
解 (1)显然，对于任意A,B,C?Mn(R)，根据线性代数知，
A(B?C)?AB?AC且(B?C)A?BA?CA，
因此，矩阵的乘法运算对矩阵的加法运算可分配.
(2)由于n阶单位矩阵E?Mn(R), 且对于任意A?Mn(R)，根据线性代数知，
EA?AE?A，
所以，n阶单位矩阵E是Mn(R)关于矩阵乘法的单位元素.
同样根据线性代数知，Mn(R)中只有可逆矩阵A才有逆元.
12.令Zm = {0, 1, 2, … , m - 1}，Zm上的两个2元运算分别是模m的加法运算“+m”和模m的乘法运算“?m”，定义如下: 任意x, y ? Zm ,
x?my?(x?y)(modm),x?my?(xy)(modm).
(1) 写出Z6关于+6和.6的运算表. (2) 证明: .m运算对+m运算可分配.
解 (1) Z6关于+6和.6的运算表分别见表1.3和表1.4.
表1.3
? 0 1 2 3 4 5 60 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 3 4 5 0 3 4 5 0 1 4 5 0 1 2 5 0 1 2 3 0 1 2 3 4 ?6 0 1 2 3 4 5 表1.4 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 0 2 4 0 2 4 0 3 0 3 0 3 0 4 2 0 4 2 0 5 4 3 2 1 (2)对于任意x, y , z ? Zm ,，由于乘法运算可交换且x?(y?z)?x?y?x?z，因此有
x?m(y?mz)?x?my?mx?mz
所以 .m运算对+m运算可分配.
13.试验证: Z关于加法运算+和减法运算-均没有零元素, 而Z关于乘法运算 . 的零元素为0.
解 若?是Z关于加法运算+的零元素，则对于任意x?Z，均有x?????x??，这显然是不可能的.
同样，若?是Z关于减法运算-的零元素，则对于任意x?Z，均有x?????x??，这显然也是不可能的.
对于任意x?Z，因为x?0?0?x?0，所以Z关于乘法运算 . 的零元素为0. 14.试举例说明，映射的复合运算?不具有消去性.
解 例如取A?{a,b,c}，f(a)?f(b)?f(c)?a，则经过计算可知
f?f?f?IA，但f?IA，这说明映射的复合运算?不具有消去性.
15.令G表示集合S?{1,2,3}上所有置换组成的集合.
(1)列出G关于复合映射“?”的运算表.
(2)并指出G关于复合映射“?”的单位元素及G中每个元素的逆元. 解 (1)由1.2节例6知，S?{1,2,3}上所有置换分别为
p1(1)?1,p1(2)?2,p1(3)?3;p2(1)?2,p2(2)?1,p2(3)?3;
p3(1)?3,p3(2)?2,p3(3)?1;p4(1)?1,p4(2)?3,p4(3)?2; p5(1)?2,p5(2)?3,p5(3)?1;p6(1)?3,p6(2)?1,p6(3)?2.
列出G关于映射的复合 “?”的运算表如下(参见5.3节表1关于置换的复合“?”的运算表)
表1.5 ? p1 p2 p3 p4 p5 p6 p1 p2 p3 p4 p5 p6 p1 p2 p3 p4 p5 p6 p2 p1 p6 p5 p4 p3 p3 p5 p1 p6 p2 p4 p4 p6 p5 p1 p3 p2 p5 p3 p4 p2 p6 p1 p6 p4 p2 p3 p1 p5 (2)由运算表可知，对于任意pi?G，有pi?p1?p1?pi?pi，所以 p1是G关于复合映射“?”的单位元素.
?1?1 由运算表可知，p1?p1，p2?p2，p3?p3，p4?p4，p5?p6，?1p6?p5.
?1?1?1