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云 南 大 学 数学分析习作课读书报告 题 目： 一元函数与二元函数连续性的对比 学 院： 数学与统计学院 专
业： 数学与应用数学 姓名、学号： 任课教师：
时 间： 摘 要
讨论一元、二元函数连续性的对比，首先我们要讨论一元函数与二元函数的连续性的联系，从函数连续性的定义和一些性质中找出与一元函数与二元函数连续性的关系，再从函数连续性与极限、导数、微分的联系来分析一元函数与二元函数连续性的不同。如同极限一样，二元函数的连续性问题要比一元函数要求更高，处理起来也更复杂，但是，一切从基本概念出发，熟知连续性的定义和定理，参考一元函数连续性问题的解决方法，二元函数连续性问
题就不难解决。 关键词：
函数在一点的连续性 函数的左、右连续 间断点 导数 极限 偏导数
积分 以下为正文部分：小标题四号宋体字，其余均为小四号宋体字。撰写时请删除！ 一、函数的连续性 函数在一点的连续性
（一）函数在x。连续，满足三个条件： （1）函数?(x)在x。点点某领域u (x。，δ)内有定义 （2）lim?(x)存在 △x→x。
（3）lim?(x)=?(x。) △x→x。
用增量形式表示连续性：lim[?(x。+△x)- ?(x。)]=lim△y=0 △x→0 △x→0 定义：设?(x)在x。及其领域内有定义，如果对于任意的ε﹥0，都有δ=δ（x。，ε）﹥0，使当|x-x。|﹤δ时，有|?(x) -?(x。)|﹤ε成立，即lim?(x)= ?(x。)，则称函数?(x)
在x=x。(或点x。)处连续。 x→x。
?(x)在点x。出处有定义，且?(x)在分界点x。的极限lim?(x)存在 x→x。
lim?(x) =(x。) x→x。
所有初等函数在它的定义域内都连续 一个连续而另一个不连续的函数，其和、差一定不连续，但其积不然 例1． 例 设函数?(x)在（a,b）内每一点处的左、右极限都存在，又?x,y∈（a,b）,
有
?(x?y
2)≤[?(x)+ ?(y)] (1) 21 证明 ?在（a,b）内连续
分析 若想证明?(x)在（a,b）内连续，由题设即证 ? x。∈（a,b），lim?(x)= lim?(x)= ?(x。) (2) x→x-。 x→x+。 即可，在式（1）中先令某一变量为x。（这是想当然的，因为定要考察?在x。处的情况，不妨设x=x。），则得 ?(x。?y
2)≤[?(x。)+ ?(y)] (3) 21 如果y在x0的左侧，即y<x0.则有 y﹤
即y与x。?y 2 x。?y
2x。?y2﹤x。 x。?y2均在x。的左侧。如此，y →x-。时， →x-。亦成立。在式（3）中自然要想到令y →x-。，则得 lim?()≤[?(x。)+ lim?(y)] (4) 21
y →x-。 y →x-。 令 a= lim?(y) y →x-。 则
lim?（x。?y 2）=a y →x-。
则式（4）表明 a≤?(x。) （5） 同样，若在式（3）中令y →x+。，则当记b=lim?(y)
时，便有不等式 y →x-。 b≤1 2?(x。)+ 21在式（1）中如果想办法令2x?yb?b≤?(x。) （6） =x。，这样x。便
成为x与y中间的点了，在式（1） 中令x?x。、y?y。，便会得到另一个不等式，为此，不妨令x=x。-h,y=y。+h,h>0.则式（1）成为
?(x。)≤[?(x。-h)+ ?(x。+h)] （7） 21 令h?0.则式（7）成为 ?(x。)≤ 联立式（5）、(6)、(8)便得 a=b= ?(x。)
问题获证。 （二）、函数在一点的左（右）连续 1、函数?(x)在点x。左连续, 满足三个条件: 12??(a+b) (8) （1）函数?(x)在x。点点某领域uˉ (x。，δ)=（x。-δ,x。）内有定义
（2）lim?(x)存在 △x→x-。
（3）lim?(x)=?(x。) △x→x-。
用增量形式表示左连续性：lim[?(x。+△x)- ?(x。)]=lim△y=0 △x→0- △x→0- 2、函数?(x)在点x。右连续, 满足三个条件: （1）函数?(x)在x。点点某领域u+(x。+δ，x。)有定义 （2）lim?(x)存在 △x→x+。
（3）lim?(x)=?(x。) △x→x+。
用增量形式表示连续性：lim[?(x。+△x)- ?(x。)]=lim△y=0 △x→0+ △x→0+ 分段函数是刻画左右连续的最好例证
例2 设
?sin2x,??xf(x)??2?3x?2x?k,?? limx?0, x?0,问k为何值时，?(x)在其定义域内事连续的？ 解：当x。?0时，
x?x。 ?(x)= ?(x。)，所以，在x?0处，?(x)是连续的。当x?0 时，由于?(0)=k；且 lim
?lim ?(x)= x?0?x?0 lim
x?0?f(x)?limx?0?(3xsin2xx2?2; ?2x?k)?k, 所以，令k=2, 则?(x)在x?0处连续。 （三）、间断点及其分类
1、函数?(x)在x。间断，必出现如下三种情形之一；篇二：数学分析读书报告 数学读书报告 对数学分析六个基本定理的感想 课程名称 数学文化 学生姓名 代广武 学生学号
2009303630 ____ 专 业 应用物理学 所在院系 理学院 我的专业是应用物理学，所以我对数学专业所学的数学分析具有浓厚兴趣，重点研究了
数学分析的六大基本定理。他们互推互证构成的循环让我十分惊奇。 大体上讲，数学分析就是研究实数范围内微分和积分的数学分支。它是在极限理论基础
上，以定义在实数范围内的函数为讨论对象的一门数学专业基础课。 追溯历史，早在17世纪，newton和lebniz就各自独立地发明了微积分，当时是出于解决具体问题的需要。不过，那时的理论很不完善，诸如“无穷小”之类的概念根本没有严格
的定义，由此引发出许多问题和矛盾。 后来，cauchy和weierstrass等人引入严格的分析语言，为分析学奠定了牢固的根基。
他们的工作已经成为经典，成为数学系本科生的入门知识。 再次附上这六个大名鼎鼎的定理，他们是数学分析的逻辑基础，个人认为要掌握他们难
度还是不小的。 1. 实数基本定理的陈述 实数基本定理以不同的形式刻划了实数的连续性和完备性，实数基本定理是建立与发展微积分学的基础。因此掌握这部分内容是十分必要的，特别是可通过这部分内容的学习与钻
研，培养严密的逻辑思维能力。为了方便起见，我们先叙述实数理论的8个基本定理。 定理1(确界原理) 非空有上(下)界数集，必有上(下)确界。 定理2(单调有界原理) 任何单调有界数列必有极限。 定理3( cantor区间套定理) 若{[an,bn]}是一个区间套, 则存在唯一一点?，使
得??[an,bn],n?1,2,?。 定理4(heine-borel有限覆盖定理) 设[a,b]是一个闭区间，?为[a,b]上的一个开覆盖，
则在?中存在有限个开区间，它构成[a,b]上的一个覆盖。 定理5（weierstrass聚点原理） 直线上的有解无限点集至少有一个聚点。 定理6（bolzano致密性定理） 有界无穷数列必有收敛子列。 定理7(cauchy收敛准则) 数列{an}收敛?对任给的正数?
n，使得?m,n?n时，都有|am?an|??。 ，总 我个人对区间套定理比较熟悉，而且我对这个定理也比较感兴趣。 一．什么是闭区间：数轴上任意两点和这两点间所有点组成的线段为一个闭区间。 闭区间套定理：有无穷个闭区间，第二个闭区间被包含在第一个区间内部，第三个被包含在第二个内部，以此类推（后一个线段会被包含在前一个线段里面），这些区间的长度组成一个无穷数列，如果数列的极限趋近于0（即这些线段的长度最终会趋近于0），则这些区间的左端点最终会趋近于右端点，即左右端点收敛于数轴上唯一一点，而且这个点是此这些区间的唯一公共点。（开区间同理） 区间套最后可以确定实数轴上唯一的一点，这为研究密度无穷大的实数轴提供了一个很好的办法，而且用他可以证明确界原理，单调有界原理证明其他原理个人也比较习惯。 这里附上区间套定理证明其他原理的片段。 1 .区间套定理证明单调有界原理 证明：设数列?xn?递增有上界.
取闭区间?a1,b1?，使a1不是数列?xn?的上界，b1是数列?xn?的上界.显然在闭区
间?a1,b1?内含有数列?xn?的无穷多项，而在?a1,b1?外仅含有数列?xn?的有限项. 对分?a1,b1?，取?a2,b2?，使其具有?a1,b1?的性质.故在闭区间?a2,b2?内含有数列?xn?
的无穷多项，而在?a2,b2?外仅含有数列?xn?的有限项. 以此方法，得区间列? ?an,bn??. *
由区间套定理，?是所有区间的唯一公共点. 显然，在?的任何邻域内有数列?xn?的无穷多项，即??＞0，?n?n，当n＞n时，有xn??＜?.
所以limxn?? 定理得证. n?? [1]
2.区间套定理证明致密性定理 证明：设?yn?为有界数列，即存在两个数a,b，使a?yn?b.等分区间?a,b?为两个区间，则至少有一个区间含有?yn?中的无穷个数.把这个区间记为?a1,b1?，如果两个区间都含有无穷个yn，则任取其一作为?a1,b1?.再等分区间?a1,b1?为两半，记含有无穷个yn的区间为?a2,b2?.这个分割手续可以继续不断的进行下去，则得到一个区间列?个区间列显然适合下
面两个条件： （1）?a,b???a1,b1???a2,b2??? （2）bn?an? b?a2 n
?an,bn??，这