发布时间 : 星期四 文章山东科技大学概率论卓相来岳嵘编第三章习题解析更新完毕开始阅读e2f69de667ce0508763231126edb6f1aff0071b1
山东科技大学概率论卓相来岳嵘编第三章习题解析
习 题 三
1、 一个口袋中装有5只球,其中4只红球,1只白球,采用不放回抽样,接连摸两次、设
?1，第一次摸到红球，?1,第二次摸到红球， X?? Y??0，第一次摸到白球；0,第二次摸到白球.??试求:(1)X和Y的联合分布律;
(2)P?X?Y?.
解 (1) (X,Y)的可能取的数组为 (0,0),(0,1),、 (1,0), (1,1) 下面先算出每一组取值的概率
1,第一次取到白球后,第二次取白球的概率为0、 51第一次取到白球的概率为,第一次取到白球后,第二次取红球的概率为1、
5第一次取到白球的概率为因此由乘法定理得
P?(X,Y)}?P{(0,0)??0 11P?(X,Y)?(0,1)???1?
5541,第一次取到红球后,第二次取白球的概率为、 5443第一次取到红球的概率为,第一次取到红球后,第二次取红球的概率为、
54第一次取到红球的概率为因此由乘法定理得
433P?(X,Y)?(1,1)????
545411P?(X,Y)?(1,0)????
545于就是所求的分布律为
Y 0 1
X 1 5131
554 (2)P?X?Y?.=P?(0,0)??P?(1,0)??P?(1,1)??
52、 将一硬币抛掷三次,以X表示在三次中出现正面的次数,以Y表示在三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值。试写出X和Y的联合分布律、
解 由X表示在三次中出现正面的次数,出现反面次数为3?X,所以
0 0
Y?X?(3?X)?2X?3,X的取值为0,1,2,3,Y的取值为3,1,1,3,且X:b(3,0.5)
于就是P?(X,Y)?(0,3)??P?X?0??()?3121 8 1
山东科技大学概率论卓相来岳嵘编第三章习题解析
31112P?(X,Y)?(1,1)??P?X?1??C3()?
228113P?(X,Y)?(2,1)??P?X?2??C32()2?
22811P?(X,Y)?(3,3)??P?X?3??()3?
28而(X,Y)?(0,1),(1,3),(2,3),(3,1),均为不可能事件、所求的X和Y的联合分布律为 X 0 1 2 3
Y 33 0 88113 0 0
881 0
3、 一盒子里装有3只黑球,2只红球,2只白球,在其中任取4只,以X表示取到黑球的只数,以Y表示取到红球的只数,求X和Y的联合分布律、
解 X的取值为0,1,2,3,Y的取值为0,1,2,其联合分布律为 X 0 1 2 3
Y 32 353561221 0
3535351632 0
3535350 0 0
4、 设二维随机变量?X,Y?概率密度为
?k(6?x?y),0?x?2,2?y?4,f(x,y)??
0, 其它.?求:(1)常数k; (2)P?X?1,Y?3?; (3)P?X?1.5?; (4)P?X?Y?4?、
解 (1)由概率密度的性质??????????f(x,y)dxdy?1,得
2??????????f(x,y)dxdy??201k(6?x?y)dxdy?2k(3?x)dx?8k?1k?,故、 ?2?084 2
山东科技大学概率论卓相来岳嵘编第三章习题解析
?6?x?y,0?x?2,2?y?4,?于就是 f(x,y)?? 8??0, 其它.(2) P?P?X?1,Y?3?????f(x,y)dxdyD ??10?326?x?y3dydx?884
(3)P?X?1.5???6?x?y27 dydx?0?283224?x6?x?y2(4)P?X?Y?4????dydx?、
02831.5
5、 设二维随机变量?X,Y?服从区域G上的均匀分布,其中G?x?1,y?1,试求关于t的一元二次方程t2?Xt?Y?0无实根的概率、
解 二维随机变量(X,Y)在区域G?x?1,y?1服从均匀分布,由G的面积
????A?4,所以(X,Y)的概率密度为
?1?, x?1,y?1, f(x,y)??4??0, 其它. 若关于t的一元二次方程t2?Xt?Y?0无实数根,则判别式
??X2?4Y?0
t的一元二次方程t2?Xt?Y?0无实数根的概率为
P{X2?4Y?0}?P{X2?4Y}??6、 设X与Y的联合概率密度为
1?1?1x42111dydx?、 424?4xy, 0?x?1,0?y?1, f(x,y)??
0, 其它.?求X与Y的联合分布函数F(x,y)
解 F(x,y)??x??ds?y??0,x?0或y?0??x2y2,0?x?1,0?y?1??f(s,t)dt??x2,0?x?1,y?1
?y2,x?1,0?y?1?1,x?1,y?1??7、 设X与Y的联合概率密度为 y
3
山东科技大学概率论卓相来岳嵘编第三章习题解析
?2xy, (x,y)?G,xf(x,y)?? y??0 2?0, 其它.其中区域G如图3-7所示,试求X与Y的边缘概率密度、 O 2 x 图3-7 ?2x3解 f(x)???f(x,y)dy???02xydy?4, 0?x?2,
?x????0, 其它.?fY(y)???????22xydx?4(y?y3), 0?y?1,? f(x,y)dx???2y??0, 其它.
8、 二维随机变量?X,Y?概率密度为 ?cx2y, x2?y?1,f(x,y)??
?0, 其它.试求:(1)确定常数c;
(2)边缘概率密度、
解 (1)由概率密度的性质
??????????f(x,y)dxdy?1,得
??????????f(x,y)dxdy??1?1x?2cxydxdy??1212421cx(1?x4)dx?c?1,故c?、 ?122141于就是
?2122?xy, x?y?1, f(x,y)??4
??0, 其它.(2) X的边缘概率密度 fx(x)??????212?12124??x2xydy?x(1?x), -1?x?1,
f(x,y)dy??48??0, 其它.?y21275???yxydx?y2, 0?y?1,
f(x,y)dx??42?0, 其它.?Y的边缘概率密度
fY(y)??????9、 设袋中有标记为1:4的四张卡片,从中不放回地抽取两张,X表示首次抽到的卡片上的数字,Y表示抽到的两张卡片上的数字差的绝对值 、
（X,Y）(1)求的概率分布;
(2)给出X与Y的边缘分布;
(3)求在X=4下Y的条件概率分布与在Y=3下X的条件概率分布、
解 (1) X的取值为1,2,3,4,Y的取值为1,2,3（,X,Y）的概率分布为
X 1 2 3 4
Y
4