发布时间 : 星期六 文章函数及其表示知识点练习题答案更新完毕开始阅读e331fb87c9d376eeaeaad1f34693daef5ef7132f
函数及其表示考纲知识梳理
一、函数与映射的概念 两集合 对应关系 函数 设A、B是两个非空数集 如果按照某种确定的对应关映射 设A、B是两个非空集合 如果按某一个确定的对应关f:A?B 系f，使对于集合A中的任系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都意一个元素x，在集合B中有唯一确定的数f(x)和它都有唯一确定的元素y与之对应。 对应。 称f:A?B为从集合A到集合B的一个映射 对应f:A?B是一个映射 名称 称f:A?B为从集合A到集合B的一个函数 记法 y?f(x)，x?A 注：函数与映射的区别：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集。 二、函数的其他有关概念
（1）函数的定义域、值域
在函数y?f(x)，x?A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与
x的值相对应的y值叫做函数值，函数值{f(x)|x?A}的集合叫做函数的值域
（2）一个函数的构成要素 定义域、值域和对应法则 （3）相等函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数。 注：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？（不一定。如果函数y=x和y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；再如y=sinx与y=cosx，其定义域为R，值域都为[-1，1]，显然不是相等函数。因此凑数两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系）
（4）函数的表示方法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法和列表法。 （5）分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是个函数。
函数及其表示测试题
?x2?4x?6,x?01、设函数f(x)??则不等式f(x)?f(1)的解集是（ A ）
?x?6,x?0A.(?3,1)?(3,??) B.(?3,1)?(2,??) C.(?1,1)?(3,??) D.(??,?3)?(1,3)
解析 由已知，函数先增后减再增
当x?0，f(x)?2f(1)?3令f(x)?3, 解得x?1,x?3。
当x?0，x?6?3,x??3
故f(x)?f(1)?3 ，解得?3?x?1或x?3
2、试判断以下各组函数是否表示同一函数？
332（1）f（x）=x，g（x）=x；
x?0,?1|x|??1x?0;（2）f（x）=x，g（x）=?
（3）f（x）=
2n?1x2n?1，g（x）=（2n?1x）2n－1（n∈N*）；
2（4）f（x）=xx?1，g（x）=x?x；
22
（5）f（x）=x－2x－1，g（t）=t－2t－1。
332x解：（1）由于f（x）==|x|，g（x）=x=x，故它们的值域及对应法则都不相同，
所以它们不是同一函数；
x?0,?1|x|??1x?0;（2）由于函数f（x）=x的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=?的定义域为R，所以它们不是同一函数；
（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数， ∴f（x）=
2n?1x2n?1=x，g（x）=（2n?1x）2n－1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相
同，所以它们是同一函数；
（4）由于函数f（x）=xx?1的定义域为{x|x≥0}，而g（x）=x2?x的定义域
为{x|x≤－1或x≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数；
（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数
注：对于两个函数y=f（x）和y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函数若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然。
3、求下列函数的值域：
（1）y?3x?x?2；（2）y??x?6x?5；（3）
22y?3x?1x?2；
2y?x?41?xy?x?1?x（4）；（5）；（6）y?|x?1|?|x?4|；
2x2?x?22x2?x?11y?2y?(x?)x?x?1；2x?12； （7）（8）
解：（1）（配方法）
12323y?3x2?x?2?3(x?)2??61212， [23,??)2y?3x?x?2∴的值域为12
（2）求复合函数的值域：
2???x?6x?5（??0），则原函数可化为y?? 设
22???x?6x?5??(x?3)?4?4， 又∵
∴0???4，故??[0,2]，
2y??x?6x?5的值域为[0,2] ∴
（3）（法一）反函数法：
y?3x?12x?1y?x?3，其定义域为{x?R|x?3}， x?2的反函数为
y?∴原函数
3x?1x?2的值域为{y?R|y?3}
y?3x?13(x?2)?77??3?x?2x?2x?2，
（法二）分离变量法：
77?03??3x?2x?2∵，∴，
y?∴函数
3x?1x?2的值域为{y?R|y?3}
2（4）换元法（代数换元法）：设t?1?x?0，则x?1?t，
22y?1?t?4t??(t?2)?5(t?0)，∴y?5， ∴原函数可化为
∴原函数值域为(??,5]
注：总结y?ax?b?cx?d型值域，
变形：y?ax?b?cx?d或y?ax?b?cx?d （5）三角换元法：
2∵1?x?0??1?x?1，∴设x?cos?,??[0,?]，
222y?cos??sin??2sin(??则
∵??[0,?]，∴
?4
)????5??2?[,]sin(??)?[?,1]444，∴42，
，
2sin(??∴?4)?[?1,2]∴原函数的值域为[?1,2]
??2x?3(x??4)?y?|x?1|?|x?4|??5(?4?x?1)?2x?3(x?1)?（6）数形结合法：，
∴y?5，∴函数值域为[5,??)
2（7）判别式法：∵x?x?1?0恒成立，∴函数的定义域为R
2x2?x?2y?22(y?2)x?(y?1)x?y?2?0 ① x?x?1由得：
①当y?2?0即y?2时，①即3x?0?0，∴x?0?R
2y?2?0y?2(y?2)x?(y?1)x?y?2?0恒有实根， x?R②当即时，∵时方程
22?(y?1)?4?(y?2)?0， ∴△
∴1?y?5且y?2， ∴原函数的值域为[1,5]
2x?x?1x(2x?1)?1111??x??x???2x?12x?12x?12x?122，
2y?12（8）
x?∵
11x??02，∴2，
1111x??2?2(x?)22x?12(x?1)22∴
?2，