发布时间 : 星期三 文章人教A版2019年高中数学选修1-1学案:第二章圆锥曲线与方程阶段复习课_含答案更新完毕开始阅读e33ecf8068eae009581b6bd97f1922791688beab
第二课 圆锥曲线与方程
[核心速填]
1.椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质
椭圆 平面内与两个定点F1,F2的距双曲线 抛物线 平面内与两个定点F1,平面内与一个定点F定义 离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹 F2的距离的差的绝对和一条定直线l(l不值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹 经过点F)距离相等的点的轨迹 标准方程 y2=2px或y2=-2pxx2y2y2x2x2y2y2x2+2=1或2+2=-=1或2-2=22a2baba2b2ab或x=2py或x=-1(a>b>0) 1(a>0,b>0) 2py(p>0) 无限延展,没有渐近关系式 a2-b2=c2 封闭图形 a2+b2=c2 无限延展,但有渐近图形 线y=±x或y=±x 线 baab变量范围 |x|≤a,|y|≤b或|y|≤a,|x|≤b |x|≥a或|y|≥a x≥0或x≤0或y≥0或y≤0 无对称中心 一条对称轴 对称性 顶点 离心率 四个 对称中心为原点 两条对称轴 两个 一个 ce=,且0
x2y2x2y2
成0,即可得到两条渐近线的方程.如双曲线2-2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为2-2=
ababby2x2y2x2
0(a>0,b>0),即y=±x;双曲线2-2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为2-2=0(a>0,b>0),
aabab即y=±x.
abxyx2y2
(2)如果双曲线的渐近线为±=0时,它的双曲线方程可设为2-2=λ(λ≠0).
abab3.抛物线的焦点弦问题
抛物线过焦点F的弦长|AB|的一个重要结论.
(1)y=2px(p>0)中,|AB|=x1+x2+p. (2)y=-2px(p>0)中,|AB|=-x1-x2+p. (3)x=2py(p>0)中,|AB|=y1+y2+p. (4)x=-2py(p>0)中,|AB|=-y1-y2+p.
[体系构建]
222
2
[题型探究]
圆锥曲线的定义及应用 (1)已知动点M的坐标满足方程5x+y=|3x+4y-12|,则动点M的轨迹是( )
A.椭圆 C.抛物线
B.双曲线 D.以上都不对
2.2
22(2)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为________.
【导学号:97792110】
[解] (1)把轨迹方程5x+y=|3x+4y-12|写成x+y=
2
2
2
2
|3x+4y-12|
. 5
∴动点M到原点的距离与它到直线3x+4y-12=0的距离相等.∴点M的轨迹是以原点为焦点,直线3x+4y-12=0为准线的抛物线.
x2y2
(2)设椭圆方程为2+2=1(a>b>0),因为AB过F1且A,B在椭圆上,如图所示,则
ab△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16,∴a=4.
又离心率e==ca2222
,∴c=22,∴b=a-c=8, 2
∴椭圆C的方程为+=1.
168[答案] (1)C (2)+=1
168
[规律方法] “回归定义”解题的三点应用 应用一:在求轨迹方程时,若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据圆锥曲线的定义,写出所求的轨迹方程; 应用二:涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时,常用定义结合解三角形的知识来解决; 应用三:在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形,利用几何意义去解决. 提醒:应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件. [跟踪训练] 1.点P是抛物线y=8x上的任意一点,F是抛物线的焦点,点M的坐标是(2,3),求|PM|+|PF|的最小值,并求出此时点P的坐标.
[解] 抛物线y=8x的准线方程是x=-2,那么点P到焦点F的距离等于它到准线x=-2的距离,过点P作PD垂直于准线x=-2,垂足为D,那么|PM|+|PF|=|PM|+|PD|.
如图所示,根据平面几何知识,当M,P,D三点共线时,|PM|+|PF|的值最小,且最小值为|MD|=2-(-2)=4,
所以|PM|+|PF|的最小值是4.
9?9?此时点P的纵坐标为3,所以其横坐标为,即点P的坐标是?,3?.
8?8?
2
2
x2y2
x2y2
圆锥曲线的方程 1 (1)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是
2
( )
A.+=1 34C.+=1 42
2
x2y2x2y2
B.+=1 43D.+=1 43
x2y2
x2y2
x2y2
(2)已知抛物线y=8x的准线过双曲线2-2=1(a>0,b>0)的一个焦点,且双曲线的离
ab心率为2,则该双曲线的方程为________.
c=1??
[解析] (1)由题意得?c1
=??a2
2
2
2
??a=2
,解得?
?c=1?
2
,
则b=a-c=3,故椭圆方程为+=1.
43
x2y2
c=2??
(2)由题意得?c=2??a
22
??a=1
,解得?
?c=2?
,则b=c-a=3,
22
因此双曲线方程为x-=1.
3[答案] (1)D (2)x-=1
3
[规律方法] 求圆锥曲线方程的一般步骤 一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤. (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. (2)定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时,可设方程为mx+ny=1(m>0,n>0). (3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系,通过解方程得到量的大小. [跟踪训练] 2.(1)以x轴为对称轴,通径长为8,顶点为坐标原点的抛物线方程是( ) A.y=8x B.y=-8x
C.y=8x或y=-8x D.x=8y或x=-8y C [由题意知2p=8,故选C.]
(2)焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )
A.+=1 43B.+y=1 4C.+=1 43D.x+=1
4
22
2
2
2
22
22y2
y2
x2y2x2
2
y2x2
y2