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数论专题第三讲 最大公因数
一、 基础知识与方法对策 1、公因数与最大公因数
公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数（又叫公约数）。
最大公因数：公因数中最大的一个叫最大公因数。a、b的最大公约数可以记作：（a、b）。
例如：12的因数有：1，2，3，4，6，12。 18的因数有：1，2，3，6，9，18。 12和18的公因数有：1，2，3，6。
12和18的最大公因数是：6 用符号表示为：（12，18）=6
2、最大公约数的性质：
（1）若a与b互质，则a与b的最大公约数是1；
（2）若a是b的整数倍，则a和b的最大公约数是b；
（3）两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商是互质数； （4）两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数；
（5）若a大于b，那么a—b与b的最大公约数就等于a与b的最大公约数； （6）a+b与b的最大公约数等于a与b的最大公约数；
（7）一个较大数与另一个数的最大公约数，等于较大数除以另一个数所得到余数与另一个数的最大公约数。
3、求最大公因数的方法
一般地，求最大公约数的方法有：（1）列举法；（2）短除法；（3）分解质因数法；（4）辗转相除法；（5）辗转相减法。
二、 典型例题
例1 42和70的最大公约数是多少？42、70和98的最大公约数是多少？
例2 求437与323的最大公约数是多少？
例3 一张长方形的纸片，长7分米5厘米，宽6分米。现在要把它裁成一块块的相等的正方形而没有剩余，而且正方形的边长为整数厘米，要使裁得的正方形的面积最大，最大的边长为多少厘米？可以裁多少块？
例4：一个长方体木块，长27分米，宽18分米，高15分米。要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体木块的棱长最大是多少分米？
例5 今有胡桃320个，卷糖240支，甜饼200个。将这些物品装成数量相同的礼品袋，送给幼儿园的小朋友，袋数要最多。可装多少袋，每袋三种食品各有多少？
例6 有四个大于0的不同的自然数，它们的和是1111，如果要使这四个数的公约数尽可能大，那么这四个数的公约数最大是多少？
例7 幼儿园一个班借阅图书，如借35本，；平均分发给每个小朋友后还差1本；如借56本，平均分发给每个小朋友后还剩下2本；如借69本，平均分发给每个小朋友后则差3本。问这个班的小朋友最多有多少人？
例8 试用2、3、4、5、6、7六个数组成两个三位数，使这两个三位数与540的最大公约数尽可能大，这两个三位数是多少？
思路点拨 540=22×33×5.题中6个数字中只有一个5，显然新组成的两个三位数的最大公约数中不含因数5，最大可能是22×33=108.再经过；拼凑即可得到两个符合题意的三位数。
例9 两个数的和是70，它们的最大公约数是7，这两个数的差是多少？ 思路点拨 因为两个数的最大公约数是7，所以这两个数都可以表示成7的倍数，且这两个整数互质。
例10 有三个不同的自然数，它们的最大公约数是1，但其中任两数都不互质，这三个自然数的和最小是多少？
思路点拨 取尽量小的值去满足“三个数互质”及“两两不互质”的条件。
例11 甲、乙两数都含有质因数3和5，它们的最大公约数事45.已知甲有12个约数，乙有10个约数，那么在800—1000之间，甲乙两数的和是多少？ 思路点拨 首先考虑甲、乙 的约数个数不同与它们的最大公约数45之间的必然联系是什么；其次，注意满足800—1000这个区间的多解性。
三、练习与思考
1求84、24和16的最大公约数。
2有3根铁丝，长度分别是12厘米，18厘米和24厘米。现在要把它们截成相等的小段，每根都不许剩余，每小段最长是多少厘米？
3一张长方形纸长112厘米，宽80厘米，把它剪成若干个同样大的正方形，使边长是整厘米，且不能有剩余，最少能剪多少个？
4大成公司经销某种货物，去年总收入为36963元，今年每件货物的售价不变，总收入为59570元，如果单件（以元为单位）是大于1的整数。问单价最多是多少元？
5 有20个梨子和25个苹果平均分成小朋友，分完后梨子剩下2个，而苹果还缺2个，问一共有多少个小朋友?