发布时间 : 星期日 文章2018届一轮复习北师大版第三章三角函数解三角形第三节两角和与差的正弦余弦和正切公式教案更新完毕开始阅读e413765af56527d3240c844769eae009591ba27e
第三节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆
考纲要求 真题举例 命题角度 .会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式； 2016，全国卷Ⅱ，9,5分(两角和差与二倍角公式) 2015，全国卷Ⅰ，2,5分(两角差正弦公式) 2014，全国卷Ⅱ，14,5分(两角和与差三角公式、三角函数最值) 2014，全国卷Ⅱ，15,5分(给值求值) .能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式； 和差角公式、二倍角公.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，式常与三角函数的求导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系； 值、化简交汇命题，有.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化时也与解三角形、三角积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)。 函数的性质交汇考查。 - 1 -
微知识 小题练
自|主|排|查
1．两角和的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ。 (2)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ。 tanα＋tanβ(3)tan(α＋β)＝。
1－tanαtanβ2．两角差的正弦、余弦、正切公式
(1)sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)。 (2)cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)。 tanα－tanβ(3)＝tan(α－β)。 1＋tanαtanβ3．常用公式的变化形式
(1)asinα＋bcosα＝a＋bsin(α＋φ)， 其中cosφ＝22aa＋b2，sinφ＝22
2
ba＋b22 或asinx＋bcosx＝a＋bcos(x－θ)， 其中cosθ＝ba2＋b，sinθ＝2aa2＋b2。
(2)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)。 1－tanα?π
(3)＝tan?－α1＋tanα?4
?。
??
1＋tanα?π?(4)＝tan?＋α?。 1－tanα?4?
微点提醒
应用公式时要三看：角，名，形。
α?α?(1)角：观察角之间的关系，如α＝(α＋β)－β，＝2??等，通过观察角之间的差
2?4?别与联系，把角进行合理的拆分与组合，从而正确使用公式。
(2)名：观察三角函数的名称之间的关系，如sinα，cosα，tanα的关系，常常要用到同角关系、诱导公式。通过观察函数名称之间的关系，确定使用的公式，常见的有“切化弦”“弦化切”等。
(3)形：观察已知与未知的表达式之间的关系，主要是公式的变形应用。分析表达式的结
- 2 -
构特征，寻求变形的方向，迅速准确地使用公式。
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一 、走进教材
1．(必修4P131练习T5改编)计算：sin108°cos42°－cos72°sin42°＝________。 【解析】 原式＝sin(180°－72°)cos42°－cos72°sin42° ＝sin72°cos42°－cos72°sin42° ＝sin(72°－42°) ＝sin30° 1＝。 21
【答案】 2
5?4?π?π?2．(必修4P137A组T5改编)已知cos?＋α?＝－?<α<π?，则cosα＝________。 6?5?3?6?π5
【解析】 因为<α<π，
36
ππ4?π?所以<α＋<π，又cos?＋α?＝－，
265?6?
?π?所以sin?＋α?＝ ?6?2?π
1－cos?＋α
?6?＝3， ?5?
??π?π?所以cosα＝cos??＋α?－?
?6???6?π?π?π?π
＝cos?＋α?cos＋sin?＋α?sin 66?6??6?
43313－43
＝－3＋3＝。
525210【答案】
3－43
10
110
3．(必修4P146A组T3)已知α，β都是锐角，tanα＝，sinβ＝，则α＋2β的大
710小为________。
【解析】 因为β为锐角，且sinβ＝1012tanβ
，所以tanβ＝，所以tan2β＝＝21031－tanβ
113
23＋3743tanα＋tan2β＝。故tan(α＋2β)＝＝＝1。又因为β为锐角，且sinβ1?241－tanαtan2β13?1－31－??74?3?
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＝
10π1π1π3π ππ所以0<α＋2β<，所以α＋2β＝。 24 【答案】 π 4 二、双基查验 1．sin34°sin26°－cos34°cos26°的值是( ) 1A. 21C．－ 2 【解析】 sin34°sin26°－cos34°cos26° ＝－(cos34°cos26°－sin34°sin26°) 1 ＝－cos(34°＋26°)＝－cos60°＝－。故选C。 2【答案】 C sinα＋cosα12．若＝，则tan2α等于( ) sinα－cosα23 A．－ 44 C．－ 3 3B. 44D. 3B.3 23 2 D．－ sinα＋cosα1tanα＋11 【解析】 由＝，等式左边分子、分母同除以cosα得，＝， sinα－cosα2tanα－12解得tanα＝－3， 2tanα3 则tan2α＝＝。故选B。 2 1－tanα4【答案】 B 11 3．(20152重庆高考)若tanα＝，tan(α＋β)＝，则tanβ等于( ) 321 A. 75 C. 7 1B. 65D. 6 tan?α＋β?－tanα 【解析】 tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝ 1＋tan?α＋β?tanα - 4 - 11－231＝＝。故选A。 1171＋323【答案】 A ?π?4．设sin2α＝－sinα，α∈?，π?，则tan2α的值是________。 ?2? 【解析】 ∵sin2α＝2sinαcosα＝－sinα，α∈?1 ∴cosα＝－。 2∴sinα＝3 ，tanα＝－3。 2 2tanα－23 ＝＝3。 2 1－tanα1－?－3?23 ?π，π?， ??2? ∴tan2α＝【答案】 5．tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝__________。 tan20°＋tan40° 【解析】 ∵tan(20°＋40°)＝＝3， 1－tan20°tan40°∴3－3tan20°tan40°＝tan20°＋tan40°， 即tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝3。 【答案】 微考点 大课堂 考点一 角度一：直接运用公式 三角公式的运用????多维探究 3 ?π?3 【典例1】 (20162全国卷Ⅱ)若cos?－α?＝，则sin2α＝( ) ?4?5 A. 7 25 1B. 57D．－ 25 1C．－ 5 【解析】 因为cos? ?π－α?＝cosπcosα＋sinπ2sinα＝2(sinα＋cosα)＝3，所 ?4425?4? - 5 -