发布时间 : 星期日 文章（统编版）2020高中数学第二章平面向量2.4平面向量的坐标自主训练北师大版必修65更新完毕开始阅读e472897a935f804d2b160b4e767f5acfa0c78352
2.4 平面向量的坐标
自主广场
我夯基 我达标
1.若向量a=（3，2），b=（0，-1），则向量2b-a的坐标是（ ）
A.（3，-4） B.（-3，4） C.（3，4） D.（-3，-4） 思路解析：依向量的坐标运算解答此题.2b-a=（0，-2）-（3，2）=（-3，-4）. 答案：D
2.(1国防科技工业第四次联考，3)已知向量a=（1，2），b=(-3,2),且向量ka+b与lb+a平行，则实数k,l满足的关系式为（ ）
A.kl=-1 B.k+l=0 C.l-k=0 D.kl=1
思路解析：∵ka+b=(k-3,2k+2)，lb+a=(-3l+1,2l+2)，∴(k-3)(2l+2)-(2k+2)(-3l+1)=0.整理得kl=1. 答案：D
3.(山东高考卷，理5)设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2)，若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为（ ）
A.(2,6) B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6) 思路解析：由题意，得4a+4b－2c+2(a－c)+d=0，代入向量的坐标即可求得向量d. 答案：D
4.与a=（12，5）平行的单位向量为（ ）
125125，-） B.（-，-）
13131313125125125C.（，）或（-，-） D.（±，±）
131313131313A.（
思路解析：利用平行与单位向量两个条件，即可求得. 答案：C
5.(山东临沂二模，理5)已知向量a=（8，x），b=（x，1），其中x＞0，若(a-2b)∥(2a+b)，则x的值为（ ）
A.4 B.8 C.0 D.2
思路解析：利用向量共线的坐标表示得方程.∵a-2b=(8-2x,
1211x-2),2a+b=(16+x,x+1),∴(8-2x)(x+1)-( x-2)(16+x)=0.∴x=4或x=-5（舍去）. 22答案：A
6.下列各组向量：①e1=（－1，2），e2=（5，7）；②e1=（3，5），e2=（6，10）；③e1=（2，－3），e2=（
13，-）.其中能作为平面内所有向量的基底的是_____________________. 24思路解析：由平面向量基本定理知只要不共线的两向量就可以作为基底，故可由共线向量定
理的坐标表示加以选取.易知仅有①中两向量－1×7－2×5≠0，故为①. 答案：①
7.已知向量AB=（6，1），BC=（x，y），CD=（-2，-3），当BC∥DA时，求实数x、y应满足的关系.
思路分析：利用向量共线的坐标表示.
1
解：由题意，得
DA=-AD=-(AB+BC+CD）=-［（6，1）+（x，y）+（-2，-3）］=（-x-4，-y+2）， BC=（x，y），
又∵BC∥DA，
∴x(-y+2）-y·（-x-4）=0. 解得y=-
1x, 21x. 2即x，y应满足y=－
我综合 我发展
8.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（-1，3），若C点满足
OC=αOA+βOB，其中，α，β∈R，且α+β=1,则点C的轨迹方程的形状是
__________________.
思路解析：∵α+β=1,∴β=1-α.∴OC=αOA+(1-α)OB.∴OC-OB=α(OA?OB). ∴BC=αBA.∴A、B、C三点共线.∴点C的轨迹方程是直线AB.
答案：直线
9.平面内给定三个向量：a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). （1）求3a+b-2c；
（2）求满足a=mb+nc的实数m和n； (3)若(a+kc)∥(2b-a)，求实数k.
思路分析：根据向量的坐标运算法则及两个向量平行的充要条件、模的计算公式，建立方程组求解. 解：（1）3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(9-1-8,6+2-2)=(0,6). （2）∵a=mb+nc,m,n∈R，
∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).
5?m?,???m?4n?3,?9∴?解得?
82m?n?2.??n??.?9?∴m=
58,n=. 99(3)∵a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2)， 又∵(a+kc)∥(2b-a)，
∴(3+4k)×2-(-5)×(2+k)=0. ∴k=?16. 1310.已知向量u=(x,y)，v=(y,2y-x)的对应关系用v=f(u)来表示.
2
（1）证明对于任意向量a,b及常数m,n恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立； （2）求使f(c)=(p,q)(p,q为常数)的向量c的坐标.
思路分析：此题应将题设条件中的向量坐标化，通过坐标进行运算. （1）证明：设a=(a1,a2),b=(b1,b2)， 则ma+nb=(ma1+nb1,ma2+nb2).
∴f(ma+nb)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1),
mf(a)+nf(b)=m(a2,2a2-a1)+n(b2,2b2-b1)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1). ∴f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立.
（2）解：设c=(x,y)则f(c)=(y,2y-x)=(p,q). ∴??y?p,?x?2p?q,解得?
?2y?x?q,?y?p.∴c=(2p-q,p).
11.已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及OP=OA+tAB，
求：（1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限?
（2）四边形OABP能否构成平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由. 思路分析：首先把向量OP表示为坐标的形式，再利用点在x轴上、y轴上、第二象限内的特征，得到坐标的条件；要看四边形OABP能否构成平行四边形，就要看能否找到t，使
OA=PB，即对边所在的直线平行且相等.
解：（1）OP=OA+tAB=（1+3t，2+3t）.
2. 31若P在y轴上，只需1+3t=0，所以t=?.
3若P在x轴上，只需2+3t=0，所以t=-若P在第二象限，只需??1?3t?0,21∴-＜t＜?.
33?2?3t?0,（2）因为OA=（1，2），PB=（3－3t，3－3t）， 若OABP为平行四边形，则OA=PB. 由于方程??3?3t?1,无解，
?3?3t?2故四边形OABP不能构成平行四边形.
3