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南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学试卷
2Cn＋1
（2）证明：pn＞．
(n＋1)!
南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试
数学参考答案及评分标准
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）
2
1．(－∞，1) 2．2 3． 4．30 5．17 6．31
343－3
7．3 8． 6 9． 10．①④ 11．32 12．{2}
1091
13．－ 14．－ 4e
二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）
解：（1）设∠BAD＝α，∠DAC＝β． 因为AD⊥BC，AD＝6，BD＝3，DC＝2，
11
所以tanα＝，tanβ＝， ………………… 2分
2311
＋23tanα＋tanβ
所以tan∠BAC＝tan(α＋β)＝＝＝1． ………………… 4分
111－tanαtanβ
1－×23π
又∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝． ………………… 6分
4（2）设∠BAD＝α．
π
在△ABD中，∠ABC＝，AD＝6，BD＝3．
4
ADBD2
由正弦定理得 ＝， 解得sinα＝． ………………… 8分
πsinα4sin4
因为AD＞BD，所以α为锐角，从而cosα＝1－sin2α＝πππ
因此sin∠ADC＝sin(α＋)＝sinαcos＋cosαsin
444
14
． ………………… 10分 4
22141＋7＝(＋)＝． ………………… 12分 2444
1
△ADC的面积S＝×AD×DC·sin∠ADC
2
1＋731
＝×6×2×＝(1＋7)． ………………… 14分 242
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南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学试卷
16．（本小题满分14分）
证明：（1）因为AD⊥平面PAB，AP?平面PAB，
所以AD⊥AP． ………………… 2分 又因为AP⊥AB ，AB∩AD＝A，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，
所以AP⊥平面ABCD． ………………… 4分 因为CD?平面ABCD，
所以CD⊥AP． ………………… 6分 （2）因为CD⊥AP，CD⊥PD，且PD∩AP＝P，PD?平面PAD，AP?平面PAD， 所以CD⊥平面PAD． ① ………………… 8分 因为AD⊥平面PAB，AB?平面PAB， 所以AB⊥AD．
又因为AP⊥AB，AP∩AD＝A，AP?平面PAD，AD?平面PAD，
所以AB⊥平面PAD． ② ………………… 10分 由①②得CD∥AB， ………………… 12分 因为CD ?/平面PAB，AB?平面PAB，
所以CD∥平面PAB． ………………… 14分 17．（本小题满分14分）
解：（1）因为矩形纸板ABCD的面积为3600，故当a＝90时，b＝40， 从而包装盒子的侧面积
S＝2×x(90－2x)＋2×x(40－2x)
＝－8x2＋260x，x∈(0，20) ． ………………… 3分
654225因为S＝－8x2＋260x＝－8(x－)2＋，
42654225
故当x＝ 时，侧面积最大，最大值为 平方厘米．
42
654225
答：当x＝ 时，纸盒的侧面积的最大值为平方厘米． ………………… 6分
42（2）包装盒子的体积
b
V＝(a－2x)(b－2x) x＝x[ab－2(a＋b)x＋4x2]，x∈(0，)，b≤60．…………… 8分
2V＝x[ab－2(a＋b)x＋4x2]≤x(ab－4abx＋4x2)
＝x(3600－240x＋4x2)
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＝4x3－240x2＋3600x． ………………… 10分
当且仅当a＝b＝60时等号成立． 设f (x)＝4x3－240x2＋3600x，x∈(0，30)． 则f ′ (x)＝12(x－10)(x－30)．
于是当0＜x＜10时，f ′ (x)＞0，所以f (x)在(0，10)上单调递增；
当10＜x＜30时，f ′ (x)＜0，所以f (x)在(10，30)上单调递减．
因此当x＝10时，f (x)有最大值f (10)＝16000， ……………… 12分 此时a＝b＝60，x＝10．
答：当a＝b＝60，x＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．
……………… 14分
18．（本小题满分16分）
x2y2b24e2解：（1）因为椭圆 ＋2＝1经过点(b，2e)，所以＋2＝1．
8b8b
因为因为
e2＝
c2c2b2c2
＝，所以＋2＝1． a2882b
b28－b2
＋2＝1． …………………… 2分 82b
a2＝b2＋c2，所以
整理得 b4－12b2＋32＝0，解得b2＝4或b2＝8(舍) ．
x2y2
所以椭圆C的方程为＋＝1． …………………… 4分
84（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为T(1，0)，则直线l的方程为y＝k(x－1)．
k(x－1)，??y＝
联立直线l与椭圆方程 ?x2y2
＋＝1，?84?消去y，得 (2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－8＝0，
4k2
x1＋x2＝2， 2k＋1
所以 ……………… 6分
2k2－8x1x2＝2． 2k＋1
???
因为MN∥l，所以直线MN方程为y＝kx， kx，??y＝2
联立直线MN与椭圆方程?xy2
＋＝1，??848
消去y得 (2k2＋1)x2＝8，解得x2＝2．
2k＋1因为MN∥l，所以
AT·BT(1－x1)·(x2－1)
＝． …………………… 8分 MN 2(xM－xN)2
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南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学试卷
7
因为 (1－x1)·(x2－1)＝－[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝2 ，
2k＋1
(xM－xN)2＝4x2＝
32
，
2k2＋1
AT·BT(1－x1)·(x2－1)72k2＋17所以 ＝＝2·＝． ………………… 10分
MN 232(xM－xN)22k＋132（3）在y＝k(x－1)中，令x＝0，则y＝－k，所以P(0，－k)，
→→
从而 AP＝(－x1,－k－y1)， TB＝(x2－1，y2)．
222→2→
因为 AP＝TB，所以－x1＝(x2－1)，即x1＋x2＝．…………………… 12分
5555
?由(2)知， ?
????
4k2
x1＋x2＝2， 2k＋1
2k2－8x1x2＝2． 2k＋1
4k2
x1＋x2＝2， 2k＋1－4k2＋216k2－2
由解得 x1＝，x＝． ……………… 14分
223(2k2＋1)23(2k2＋1)x1＋x2＝，
552k2－8－4k2＋216k2－22k2－8
因为x1x2＝2， 所以 ×＝，
2k＋13(2k2＋1)3(2k2＋1) 2k2＋117
整理得 50k4－83k2－34＝0，解得k2＝2或k2＝－ (舍) ．
50
又因为k＞0，所以k＝2． …………………… 16分 19．（本小题满分16分）
解：（1）当a＝e时，f (x)＝ex－ex－1．
① h (x)＝f (x)－g (x)＝ex－2x－1，h′ (x)＝ex－2． 由h′ (x)＞0得x＞ln2，由h′ (x)＜0得x＜ln2．
所以函数h(x)的单调增区间为 (ln2，＋∞)，单调减区间为 (－∞，ln2)．
………………… 3分
② f ′ (x)＝ex－e．
当x＜1时，f′ (x)＜0，所以f (x)在区间(－∞，1)上单调递减； 当x＞1时，f′ (x)＞0，所以f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．
1° 当m≤1时，f (x)在(－∞，m]上单调递减，值域为[em－em－1，＋∞)，
g(x)＝(2－e)x在(m，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m)，
因为F(x)的值域为R，所以em－em－1≤(2－e)m， 即em－2m－1≤0． （*）
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