发布时间 : 星期一 文章解析几何突破练更新完毕开始阅读e48eb8965122aaea998fcc22bcd126fff7055dd9
x2y231.已知椭圆C：2?2?1 （a?b?0）的离心率为 ，A(a,0)，B(0,b)，O(0,0)，
ab2?OAB的面积为1.
（1）求椭圆C的方程；（2）设P的椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：AN?BM为定值. ⑴由已知，
c31?,ab?1，又a2?b2?c2， a22 解得a?2,b?1,c?3.
x2∴椭圆的方程为?y2?1.
4⑵方法一：
2x02设椭圆上一点P?x0,y0?，则?y0?1.
4y0?2y0直线PA：y?. ?x?2?,令x?0，得yM?x0?2x0?22y0 x0?2y?1?x0直线PB：y?0. x?1,令y?0，得xN?x0y0?1∴BM?1?∴AN?2?x0 y0?1x02y0?1?y0?1x0?2
AN?BM?2??x0?2y0?2x0?2y0?2?x0?2y0?122x0?4y0?4x0y0?4x0?8y0?4?x0y0?x0?2y0?22x02?y0?1代入上式得AN?BM=4 将4故AN?BM为定值.
x2y232.平面直角坐标系xOy中，椭圆C：2?2?1?a＞b＞0? 的离心率是，抛物线E：
ab2x2?2y的焦点F是C的一个顶点.
（I）求椭圆C的方程；
（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M. （i）求证：点M在定直线上;
（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求
S1的最大值及取得最大值时点P的坐标. S2
322【解析】(Ⅰ) 由离心率是，有a=4b，
211又抛物线x=2y的焦点坐标为F(0,)，所以b=，于是a=1，
222所以椭圆C的方程为x2+4y2=1．
m2),(m>0)， (Ⅱ) （i）设P点坐标为P（m,22=x，所以E在点P处的切线l的斜率为m， 由x=2y得y′m2因此切线l的方程为y=mx－，
2设A(x1,y1),B(x2,y2)，D(x0,y0)，
m2将y=mx－代入x2+4y2=1，得
2（1+4m2)x2－4m3x+m2－1=0．
x1+x24m32m3=于是x1+x2=，x0=， 21+4m21+4m2m2－m2－=又y0=mx0，
22(1+4m2)1x． 于是 直线OD的方程为y=－4m联立方程y=－11x与x=m，得M的坐标为M(m,－)． 4m414所以点M在定直线y=－上．
m2m2（ii）在切线l的方程为y=mx－中，令x=0，得y=－，
221m2m2即点G的坐标为G(0,－)，又P(m,)，F(0,)，
2221m(m2+1)所以S1=m×GF=；
242m3－m2,)，得 再由D(4m2+12(4m2+1)12m2+12m3+mm(2m2+1)2S2=××2=
244m+18(4m2+1)S12(4m2+1)(m2+1)于是有 ． =S2(2m2+1)212(t－)(t+1)S11122==2+－ 令t=2m+1，得S2tt2t2当=1t19S1时，即t=2时，取得最大值． 24S221221此时m=，m=，所以P点的坐标为P(,)．
22249S121所以的最大值为，取得最大值时点P的坐标为P(,)．
424S23.设圆x?y?2x?15?0的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于
C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. （I）证明EA?EB为定值，并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与
22圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
【解析】（Ⅰ）因为|AD|?|AC|，EB//AC，故?EBD??ACD??ADC， 所以|EB|?|ED|，故|EA|?|EB|?|EA|?|ED|?|AD|.
又圆A的标准方程为(x?1)2?y2?16，从而|AD|?4，所以|EA|?|EB|?4.
x2y2??1由题设得A(?1,0)，B(1,0)，|AB|?2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：43（y?0）.
4.已知抛物线C：y?2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A，B两
点，交C的准线于P，Q两点．
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