发布时间 : 星期一 文章线性空间练习题更新完毕开始阅读e4b47a134431b90d6c85c7b4
线性空间练习题
一、单项选择题
R3中下列子集( )不是R3的子空间.
A.w1?{(x1,x2,x3)?R3|x2?1} B.w2?{(x1,x2,x3)?R3|x3?0} C.w3?{(x1,x2,x3)?R3|x1?x2?x3} D.w4?{(x1,x2,x3)?R3|x1?x2?x3} 二、判断题
n?n1.设V?Pn?n则W?{AA?P,A?0}是V的子空间.
2、已知V?{(a?bi,c?di)a,b,c,d?R}为R上的线性空间,则维(V)=2. 3、设线性空间V的子空间W中每个向量可由W中的线性无关的向量组
?1,?2,?,?s线性表出,则维(W)=s
4、设W是线性空间V的子空间,如果
??,??V,??W且??W,则必有
????W.
三、1.已知W1?{???a1?ab???W?{|a,b?R},2?c?00?1??0?2?2?|a,c?R},是的两个子空间,求R110??W1?W2,W1?W2的一个基和维数.
2.已知?关于基{?1,?2,?3}的坐标为(1,0,2),由基{?1,?2,?3}到基{?1,?2,?3}?324???的过渡矩阵为?100?,求?关于基{?1,?2,?3}的坐标.
?210???四、设Pn是数域P上的n维列向量空间,A?Pn?n且A2?A,
记W1?{AXX?Pn},W2?{XX?Pn,AX?0}, 1.证明:W1,W2都是Pn的子空间; 2. 证明:Pn?W1?W2.
线性变换练习题
一、填空题
1.设?1,?2,?3是线性空间V的一组基,V的一个线性变换
?在这组基下的矩阵是
A?(aij)3?3,??x1?1?x2?2?x3?3?V,则?在基?3,?2,?1下的矩阵B=_________,而可逆矩阵T=
_________满足B?TAT,??在基?1,?2,?3下的坐标为_________ . 2.设A为数域P上秩为r的n阶矩阵,定义n维列向量空间Pn的线性变换?: ?(?)?A?,则?(0)=_______,dim??1(0)=______,dim?(Pn)=_____ . 3.复矩阵A?(aij)n?n的全体特征值的和等于________ ,而全体特征值的积等于_______ . 4.设?是n维线性空间V的线性变换,且?在任一基下的矩阵都相同,则?为________变换 . 5.数域P上n维线性空间V的全体线性变换所成的线性空间L(V)为_______维线性空间,它与________同构.
6.设n阶矩阵A的全体特征值为?1,?2,?,?n,f(x)为任一多项式,则f(A)的全体特征值为________ .
?1?1??Pn,
????二、判断题
1.设?是线性空间V的一个线性变换,?1,?2,?,?s?V线性无关,则向量组?(?1),?(?2),?,?(?s)也线性无关. ( )
2.设?为n维线性空间V的一个线性变换,则由?的秩+?的零度=n,有V??(V)??( )
3.在线性空间R中定义变换?:?(x,y)?(1?x,y),则?是R的一个线性变换. ( ) 4.若?为n维线性空间V的一个线性变换,则?是可逆的当且仅当?(0)={0}. ( ) 5.设?为线性空间V的一个线性变换,W为V的一个子集,若?(W)是V的一个子空间,则W必为V的子空间. ( )
?1?1(0).
22三、计算与证明
?001???1.设A?11a,问a为何值时,矩阵A可对角化? ???100???并求一个可逆矩阵X,,使X-1AX=?..
2.在线性空间Pn中定义变换?:?(x1,x2,,xn)?(0,x2,,xn) (1)证明:?是Pn的线性变换. (2)求?(P)与?(0). (3)?(P)??(0)?P.
3.若A是一个n阶矩阵,且A2?A,则A的特征值只能是0和1.
n?1nn?1欧氏空间练习题
一、填空题
1.设V是一个欧氏空间, ??V,若对任意??V都有(?,?)?0,则?=_________.
2.在欧氏空间R3中,向量??(1,0,?1),??(0,1,0),那么(?,?)=_________,?=_________. 3.在n维欧氏空间V中,向量?在标准正交基?1,?2,?,?n下的坐标是(x1,x2,?,xn),那么(?,?i)=_________,?=_________.
4.两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________. 5.已知A是一个正交矩阵,那么A?1=_________,A=_________.
2二、判断题
221.在实线性空间R中,对于向量??(x1,x2),??(y1,y2),定义(?,?)?(x1y1?x2y2?1),那么R构成
欧氏空间。( )
nn2.在n维实线性空间R中,对于向量??(a1,a2,?,an),??(b1,b2,?,bn),定义(?,?)?a1b1,则R构成
欧氏空间。 ( )
3.?1,?2,?,?n是n维欧氏空间V的一组基,(x1,x2,?,xn),(y1,y2,?,yn)与分别是V中的向量?,?在这组基下的坐标,则(?,?)?x1y1?x2y2???xnyn。( ) 4.对于欧氏空间V中任意向量?,
1?是V中一个单位向量。( )
5.?1,?2,?,?n是n维欧氏空间的一组基,矩阵A?aij??n?n,其中aij?(?i,?j),则A是正定矩阵。( )
6.设V是一个欧氏空间,?,??V,并且???,则???与???正交。( ) 7.设V是一个欧氏空间,?,??V,并且(?,?)?0,则?,?线性无关。( )
8.若?,?都是欧氏空间V的对称变换,则??也是对称变换。( )
三、计算题
1.把向量组?1?(2,?1,0),?2?(2,0,1)扩充成R3中的一组标准正交基. 2.求正交矩阵T,使T?AT成对解角形。
?2?20???A???21?2?
?0?20???四、证明题
1.设A,B为同级正交矩阵,且A??B,证明:A?B?0. 2.设A为半正定矩阵,且A?0,证明:A?E?0.
3.证明:n维欧氏空间V与V同构的充要条件是,存在双射?:V?V?,并且??,??V 有
T小 测 验 九
一、填空题
??1?10???1、已知三维欧式空间V中有一组基?1,?2,?3,其度量矩阵为A???120?,则向量
?003?????2?1?3?2??3的长度为 。
?21??1??0?2?????R中的内积(?为,?)??A?,A?,则2、设?12??2??,?1??在此内积之下的度量矩阵
??????为 。
3、在n 维欧几里德空间中,一组标准正交基的度量矩阵为 。
4、在欧氏空间R中,已知??(2,1,3,2),??(1,2,?2,1),则|?|? ,?与?的夹角为 (内积按通常的定义)。
5、设R为欧氏空间,则有柯西-施瓦茨不等式: 。 二、已知二次型
22f(x1,x2,x3)?t(x12?x2?x3)?2x1x2?2x1x3?2x2x3
4n(1)t为何值时二次型f是正定的?
(2)取t?1,用正交线性替换化二次型f为标准形
三、设?1,?2,?3是3维欧氏空间V的一组基,这组基的度量矩阵为