发布时间 : 星期日 文章线性空间练习题更新完毕开始阅读e4b47a134431b90d6c85c7b4
?1?12????12?1?? ?2?16???（1）令???1??2，证明?是一个单位向量； （2）若???1??2?k?3与?正交，求k
四、设?为n维欧氏空间V中一个单位向量，定义V的线性变换A如下： A????2?(?,?)??,?V
证明：
（1）A为第二类的正交变换（称为镜面反射）。
（2）V的正交变换B是镜面反射的充要条件为1是B的特征值，且对应的特征子空间的维数为n-1. 五、已知?是对称变换，证明：?的不变子空间W的正交补W也是?的不变子空间．
?小测验(六)
一、填空题
??00??c1、已知V???a?b??0c?b???A???0?a,b,c?R?是R3?3的一个子空间，则维（V）
?0???
＝ ， V的一组基是 .
2、在P4中，若?1?(1,2,0,1),?2?(1,1,1,1),?3?(1,k,?1,1),?4?(0,1,k,1)线性无关，则k的取值范围是 .
3、已知a是数域P中的一个固定的数，而
W?{(a,x1,?,xn)xi?P,i?1,2,?,n}
是Pn+1的一个子空间，则a＝ ，而维(W)＝ . 4、设Pn是数域P上的n维列向量空间，A?Pn?n且A2?A,记
W1?{AXX?P},W2?{XX?Pn,AX?0},
则W1、W2都是Pn的子空间，且W1＋W2＝ ，W1?W2＝ . 5、设?1,?2,?3是线性空间V的一组基，??x1?1?x2?2?x3?3，则由基?1,?2,?3到基?2,?3,?1的过渡矩阵T＝ ，而?在基?3,?2,?1下的坐标是 .
二、计算与证明
1、
在线性空间P2×2中，
?12???11??2?1??1?1?A1??,A?,B?,B??2??1??2??
?10??11??01??37?1）求L(A1,A2)?L(B1,B2)的维数与一组基. 2）求L(A1,A2)?L(B1,B2)的维数与一组基.
2、在线性空间P4中，求由基?1,?2,?3,?4到基?1,?2,?3,?4的过渡矩阵，并求??(1,4,2,3)在基?1,?2,?3,?4下的坐标，其中
?1?(1,0,0,0),?2?(4,1,0,0),?3?(?3,2,1,0),?4?(2,?3,2,1)
?1?(1,1,8,3),?2?(0,3,7,2),?3?(1,1,6,2),?4?(?1,4,?1,?1).
?13?3、设??,
02??1) 证明：在Pn?n与A可交换的矩阵的全体W是一个子空间； 2) 求W的维数和一组基；
3) 写出W中矩阵的一般表达式。
4、证明：x2?x,x2?x,x?1是P[x]3的一组基，并求2x2?7x?3在此基下的坐标。 5、V为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令
W1?{f(x)f(x)?V,f(x)?f(?x)},W2?{f(x)f(x)?V,f(x)??f(?x)}
证明：W1、W2皆为V的子空间，且V?W1?W2.
6、设V1,V2是V的任意两个非平凡子空间，证明：V1?V2?V