发布时间 : 星期日 文章（理科）（大纲版）2012年全国统一高考数学试卷答案与解析更新完毕开始阅读e4d37433c77da26925c5b0a5
点评： 本题主要考查了空间向量在解决立体几何问题中的应用，空间向量基本定理，向量数量积运算的性质及夹角公式的应用，有一定的运算量 三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A﹣C）+cosB=1，a=2c，求C． 考点： 正弦定理；三角函数中的恒等变换应用． 专题： 计算题． 分析： 由cos（A﹣C）+cosB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=1，可得sinAsinC=，由a=2c及正弦定理可得sinA=2sinC，联立可求C 解答： 解：由B=π﹣（A+C）可得cosB=﹣cos（A+C） ∴cos（A﹣C）+cosB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=2sinAsinC=1 ∴sinAsinC=① 由a=2c及正弦定理可得sinA=2sinC② ①②联立可得，∵0＜C＜π ∴sinC= a=2c即a＞c 点评： 本题主要考查了两角和与差的余弦公式及正弦定理的应用，属于基础试题 18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，点，PE=2EC． （Ⅰ）证明：PC⊥平面BED； （Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．
，PA=2，E是PC上的一
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考点： 用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；向量语言表述线面的垂直、平行关系． 专题： 计算题． 分析： （I）先由已知建立空间直角坐标系，设D（，b，0），从而写出相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明PC⊥BE，PC⊥DE，从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可； （II）先求平面PAB的法向量，再求平面PBC的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得b的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角 解答： 解：（I）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A﹣xyz， 设D（∴=（2∴?，b，0），则C（2，0，﹣2），?=（=0 ，0，0），P（0，0，2），E（，b，），=（，0，），B（，﹣b，0） ，﹣b，） =﹣=0，∴PC⊥BE，PC⊥DE，BE∩DE=E ∴PC⊥平面BED （II）=（0，0，2），=（，﹣b，0） 设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则 取=（b，，0） 设平面PBC的法向量为=（p，q，r），则 取=（1，﹣，） ∵平面PAB⊥平面PBC，∴?=b﹣=0．故b=∴=（1，﹣1，∴cos＜，＞=），=（﹣= ，﹣，2） 设PD与平面PBC所成角为θ，则sinθ= ∴θ=30° ∴PD与平面PBC所成角的大小为30° 10
点评： 本题主要考查了利用空间直角坐标系和空间向量解决立体几何问题的一般方法，线面垂直的判定定理，空间线面角的求法，有一定的运算量，属中档题 19．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球． （Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； （Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望． 考点： 离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式． 专题： 综合题． 分析： （Ⅰ）记Ai表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2；A表示事件：第3次发球，甲得1分；B表示事件：开始第4次发球，甲、乙的比分为1比2，则B=A0A+A1，根据P（A）=0.4，P（A0）=0.16，P（A1）=2×0.6×0.4=0.48，即可求得结论； 2（Ⅱ）P（A2）=0.6=0.36，ξ表示开始第4次发球时乙的得分，可取0，1，2，3，计算相应的概率，即可求得ξ的期望． 解答： 解：（Ⅰ）记Ai表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2；A表示事件：第3次发球，甲得1分； B表示事件：开始第4次发球，甲、乙的比分为1比2，则B=A0A+A1 ∵P（A）=0.4，P（A0）=0.16，P（A1）=2×0.6×0.4=0.48 ∴P（B）=0.16×0.4+0.48×（1﹣0.4）=0.352； 2（Ⅱ）P（A2）=0.6=0.36，ξ表示开始第4次发球时乙的得分，可取0，1，2，3 P（ξ=0）=P（A2A）=0.36×0.4=0.144 P（ξ=2）=P（B）=0.352 P（ξ=3）=P（A0）=0.16×0.6=0.096 P（ξ=1）=1﹣0.144﹣0.352﹣0.096=0.408 ∴ξ的期望Eξ=1×0.408+2×0.352+3×0.096=1.400． 点评： 本题考查相互独立事件的概率，考查离散型随机变量的期望，确定变量的取值，计算相应的概率是关键． 20．（12分）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围． 考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 专题： 综合题． 分析： （Ⅰ）求导函数，可得f'（x）=a﹣sinx，x∈[0．π]，sinx∈[0，1]，对a进行分类讨论，即可确定函数的单调区间； 11
（Ⅱ）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ﹣1≤1，可得a≤得g（x）≥0（0≤x），再考虑：①0≤x；②，构造函数g（x）=sinx﹣，即可得到结论． （0≤x），可解答： 解：（Ⅰ）求导函数，可得f'（x）=a﹣sinx，x∈[0，π]，sinx∈[0，1]； 当a≤0时，f'（x）≤0恒成立，f（x）单调递减；当a≥1 时，f'（x）≥0恒成立，f（x）单调递增； 当0＜a＜1时，由f'（x）=0得x1=arcsina，x2=π﹣arcsina 当x∈[0，x1]时，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）单调递增 当x∈[x1，x2]时，sinx＞a，f'（x）＜0，f（x）单调递减 当x∈[x2，π]时，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）单调递增 当x∈[0，arcsina]时，单调递增，当x∈[arcsina，π]时，单调递减； （Ⅱ）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ﹣1≤1，∴a≤令g（x）=sinx﹣当x∵当a≤①当0≤x②当综上，a≤． 时，有时，时，（0≤x． 时，g′（x）＜0 （0≤x）， ），则g′（x）=cosx﹣时，g′（x）＞0，当，∴g（x）≥0，即 ，cosx≤1，所以f（x）≤1+sinx； =1+≤1+sinx 点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是正确求导，确定函数的单调性． 21．（12分）已知抛物线C：y=（x+1）与圆
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（r＞0）有一个公共点A，且在A
处两曲线的切线为同一直线l． （Ⅰ）求r； （Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离． 考点： 圆与圆锥曲线的综合；两条直线的交点坐标；点到直线的距离公式． 专题： 综合题；压轴题． 分析： 22（Ⅰ）设A（x0，（x0+1）），根据y=（x+1），求出l的斜率，圆心M（1，），求得MA的斜率，利用l⊥MA建立方程，求得A的坐标，即可求得r的值； 22（Ⅱ）设（t，（t+1））为C上一点，则在该点处的切线方程为y﹣（t+1）=2（t+1）（x﹣t），即y=2（t+1）x﹣t+1，若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为线方程，可得D的坐标，从而可求D到l的距离． 2解答： 解：（Ⅰ）设A（x0，（x0+1））， 2∵y=（x+1），y′=2（x+1） ∴l的斜率为k=2（x0+1） 当x0=1时，不合题意，所以x0≠1 2，建立方程，求得t的值，求出相应的切 12