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映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射).上述三例各是什么映射？
2. 逆映射与复合映射
设f是x到y的单射, 则由定义, 对每个y∈r f , 有唯一的x∈x, 适合f(x)=y, 于是, 我们可定义一个从r f 到x的新映射g, 即 g : r f →x,
对每个y∈r f , 规定g(y)=x, 这x满足f(x)=y. 这个映射g称为f的逆映射, 记作f -1, 其定义域df-1=r f , 值域rf-1=x .
按上述定义, 只有单射才存在逆映射. 上述三例中哪个映射存在逆映射？
设有两个映射
g : x→y 1,f : y 2→z,
其中y 1?y 2. 则由映射g和f可以定出一个从x到z的对应法则, 它将每个x∈x映射成f[g(x)]∈z . 显然, 这个对应法则确定了一个从x到z的映射, 这个映射称为映射g和f构成的复合映射, 记作f o g, 即 f o g: x →z,
(f o g)(x)=f[g(x)], x∈x . 应注意的问题:
映射g和f构成复合映射的条件是: g的值域r g必须包含在f的定义域内, r g?d f . 否则, 不能构成复合映射. 由此可以知道, 映射g和f的复合是有顺序的, f o g有意义并不表示g o f也有意义. 即使f o g与g o f都有意义, 复映射f o g与g o f也未必相同. 例4 设有映射g : r→[-1, 1], 对每个x∈r, g(x)=sin x, 映射f : [-1, 1]→[0, 1], 对每个u∈[-1, 1], f(u)=-u2.
则映射g和f构成复映射f o g: r→[0, 1], 对每个x∈r, 有 (f g)(x)=f[g(x)]=f(sinx)=-sin2x=|cosx|. 三、函数 1. 函数概念
定义 设数集d?r, 则称映射f : d →r为定义在d上的函数, 通常简记为
y=f(x), x∈d,
其中x称为自变量, y称为因变量, d称为定义域, 记作d f, 即d f=d. 应注意的问题:
记号f和f(x)的含义是有区别的, 前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值. 但为了叙述方便,
习惯上常用记号“f(x), x∈d”或“y=f(x), x∈d”来表示定义在d上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f .
函数符号: 函数y=f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母, 例如“f”, “?”等. 此时函数就记作y=? (x), y=f(x). 函数的两要素:
函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在r内, 因此构成函数的要素是定义域d f及对应法则f . 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的. 函数的定义域:
函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 一种是对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际意义确定. 求定义域举例:
1 求函数y=-x2-4的定义域. x
要使函数有意义, 必须x≠0, 且x2 - 4≥0. 解不等式得| x |≥2.
所以函数的定义域为d={x | | x |≥2}, 或d=(-∞, 2]?[2, +∞]). 单值函数与多值函数:
【篇二：同济第六版《高等数学》教案word版-第02
章 导数与微分】
第二章 导数与微分 教学目的：
1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。
2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。 4、 会求分段函数的导数。
5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 教学重点：
1、导数和微分的概念与微分的关系；
2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式；
4、高阶导数；
6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点：
1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数
4、隐函数和由参数方程确定的导数。 2. 1 导数概念 一、引例
1．直线运动的速度
设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t质点的坐标为s, s是t的函数: s=f(t),
求动点在时刻t0的速度. 考虑比值
s-sf(t)-f(t),=t-t0t-t0
这个比值可认为是动点在时间间隔t-t0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t -t0→0, 取
比值f(t)-f(t0)的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即 t-t0 t→t0 v=limf(t)-f(t), t-t0
这时就把这个极限值v称为动点在时刻t 0的速度. 2．切线问题
设有曲线c及c上的一点m, 在点m外另取c上一点n, 作割线mn. 当点n沿曲线c趋于点m时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置mt, 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线.
设曲线c就是函数y=f(x)的图形. 现在要确定曲线在点m(x0,
y0)(y0=f(x0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点m外另取c上一点n(x, y), 于是割线mn的斜率为tan?=y-yf(x)-f(x), =x-x0x-x0
其中?为割线mn的倾角. 当点n沿曲线c趋于点m时, x→x0. 如果当x→ 0时, 上式的极限存在, 设为k , 即 k=limx→x0f(x)-f(x0) x-x0 二、导数的定义
1. 函数在一点处的导数与导函数
从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限:
f(x)-f(x0) lim. x→x0x-x0
令?x=x-x0, 则?y=f(x0+?x)-f(x0)= f(x)-f(x0), x→x0相当于?x →0, 于是limx→x0f(x)-f(x0) x-x0 成为
limf(x+?x)-f(x)?y或lim. ?x→0?x?x→0?x
定义 设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义, 当自变量x在x0处取得增量?x(点x0+?x仍在该邻域内)时, 相应地函数y取得增
量?y=f(x0+?x)-f(x0); 如果?y与?x之比当?x→0时的极限存在, 则称函数y=f(x)在点x0处可导, 并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数, 记为y|x=x0, 即
f(x0)=limf(x0+?x)-f(x0)?y, =lim?x→0?x?x→0?x 也可记为y|x=x0, dydf(x)或. dxx=x0dxx=x0
函数f(x)在点x0处可导有时也说成f(x)在点x0具有导数或导数存在.
导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有 f(x0)=limh→0f(x0+h)-f(x0), h f(x0)=limx→x0f(x)-f(x). x-x0
在实际中, 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题, 在数学上就是所谓函数的变化率问题. 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述.
如果极限lim?x→0f(x0+?x)-f(x0)不存在, 就说函数y=f(x)在点x0处不可导. ?x
?x→0 如果不可导的原因是由于limf(x0+?x)-f(x0)=∞, ?x 也往往说函数y=f(x)在点x0处的导数为无穷大.
如果函数y=f(x)在开区间i内的每点处都可导, 就称函数f(x)在开区间i内可导, 这时, 对于任一x ∈i, 都对应着f(x)的一个确定的导数值. 这样就构成了一个新的函数, 这个函数叫做
dydf(x)原来函数y=f(x)的导函数, 记作 y,f(x), , 或. dxdx 导函数的定义式:
y=lim?x→0f(x+?x)-f(x)f(x+h)-f(x)=lim. h→0?xh f (x0)与f (x)之间的关系:
函数f(x)在点x0处的导数f (x)就是导函数f (x)在点x=x0处的函数值, 即
f(x0)=f(x)x=x0.