发布时间 : 星期三 文章考前三个月(浙江专版文理通用)高考知识·方法篇练习：专题10数学方法第40练含解析更新完毕开始阅读e4f183f167ce0508763231126edb6f1aff00719f
第40练 配方法与待定系数法
[题型分析·高考展望] 配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简．如何配方，需要我们根据题目的要求，合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，完全配方．配方法是数学中化归思想应用的重要方法之一．
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程．使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解．例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解．
高考必会题型
题型一 配方法
1
例1 (1)设x∈[2,8]时，函数f(x)＝loga(ax)·loga(a2x)(a>0，且a≠1)的最大值是1，最小值是
21
－，则a的值是________． 8
(2)函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为________．
→→
(3)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，在x轴上取一点P，→→使AP·BP有最小值，则P点的坐标是________． 13
答案 (1) (2) (3)(3,0)
22
.
1
解析 (1)由题意知f(x)＝(logax＋1)·(logax＋2)
21
＝[?logax?2＋3logax＋2] 2131＝(logax＋)2－. 228
13当f(x)取最小值－时，logax＝－，
82又∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)． ∵f(x)是关于logax的二次函数，
∴函数f(x)的最大值必在x＝2或x＝8处取得． 131
若(loga2＋)2－＝1， 228则a＝2?13，
13－－32f(x)取得最小值时，x＝(2131
若(loga8＋)2－＝1， 228
舍去． )＝2??2,8?，1－1
则a＝，f(x)取得最小值时，x＝()2＝22??2,8?，
221∴a＝. 2
(2)y＝cos 2x＋2sin x＝1－2sin2x＋2sin x ＝－2(sin2x－sin x)＋1 11
＝－2(sin x－)2＋2×＋1
2413
＝－2(sin x－)2＋.
22因为－1≤sin x≤1，
1
所以当sin x＝时，y取最大值，
23
最大值为.
2
→
(3)设P点坐标为(x,0)，则AP＝(x－2，－2)， →
BP＝(x－4，－1)，
→→AP·BP＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1) ＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
3 .
→→
当x＝3时，AP·BP有最小值1， ∴此时点P坐标为(3,0)．
点评 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，具体操作时通过加上一次项系数一半的平方，配凑成完全平方式，注意要减去所添的项，最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方．它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、b二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解等问题．如：y＝x2＋bx＋c＝x2＋2×x＋
2b2b2b24c－b2bbbb()－()＋c＝(x＋)＋，y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋x)＋c＝a[x2＋2×x＋()2－()2]2224a2a2a2ab24ac－b2＋c＝a(x＋)＋. 2a4
变式训练1 (1)若函数f(x)＝m－x＋3的定义域为[a，b]，值域为[a，b]，则实数m的取值范围是________．
a1
(2)已知函数y＝－sin2x＋asin x－＋的最大值为2，则a的值为________．
42
mλ
(3)已知向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)，b＝(m，＋sin α)，其中λ，m，α为实数，若a＝2b，则
2m的取值范围是________．
910
答案 (1)－ 43解析 (1)易知f(x)＝m－x＋3在[a，b]上单调递减， 因为函数f(x)的值域为[a，b]， ??m－a＋3＝b，?f?a?＝b， 所以?即? ?f?b?＝a，??m－b＋3＝a， 两式相减得，a＋3－b＋3＝a－b＝(a＋3)－(b＋3) ＝(a＋3)2－(b＋3)2，所以a＋3＋b＋3＝1， 1因为a 2而m＝b＋3＋a＝a－a＋3＋1， 所以m＝(a＋3)－a＋3－2 19 ＝(a＋3－)2－， 24 19 又0≤a＋3＜，所以－＜m≤－2. 24(2)令t＝sin x，t∈[－1,1]， a1 所以y＝－(t－)2＋(a2－a＋2)， 24 . a 对称轴为t＝. 2 a ①当－1≤≤1，即－2≤a≤2时， 21 ymax＝(a2－a＋2)＝2， 4得a＝－2或a＝3(舍去)． a ②当>1，即a>2时， 2 a111 函数y＝－(t－)2＋(a2－a＋2)在[－1,1]上单调递增，所以由ymax＝－1＋a－a＋＝2， 244210 得a＝. 3 a ③当<－1，即a<－2时， 2 a111 函数y＝－(t－)2＋(a2－a＋2)在[－1,1]上单调递减，所以由ymax＝－1－a－a＋＝2， 2442得a＝－2(舍去)． 10 综上，可得a＝－2或a＝. 3(3)由题意知，2b＝(2m，m＋2sin α)， 所以λ＋2＝2m，且λ2－cos2α＝m＋2sin α， 于是2λ2－2cos2α＝λ＋2＋4sin α， 即2λ2－λ＝－2sin2α＋4sin α＋4＝－2(sin α－1)2＋6， 故－2≤2λ2－λ≤6， 2??2λ－λ≤6，3即?2 解得－≤λ≤2， 2??2λ－λ≥－2， λλ4 则＝＝2－∈[－6,1]． mλλ＋2 ＋12题型二 待定系数法 例2 (1)(2015·课标全国Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________. 1答案 2 解析 ∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ， ??λ＝μ，1 使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则得?解得λ＝μ＝. 2??1＝2μ， n?n＋1?2 (2)是否存在常数a，b，c，使得等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝(an＋bn＋c)对一切 12 .