发布时间 : 星期一 文章文刀川页丛书2011年中考数学精选压轴题更新完毕开始阅读e500ef4efe4733687e21aa25
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是否存在点P，使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
[解] (1)在Rt△ABC中，OC⊥AB，
∴△AOC≌△COB. ∴OC2＝OA·OB.
∵OA∶OB＝3∶1,C(0,3), ∴(3)2?3OB?OB. ∴OB＝1.∴OA＝3. ∴A(-3,0),B(1,0).
设抛物线的解析式为y?ax?bx?c. ?3,?a??3?9a?3b?c?0,?2??3, 则?a?b?c?0,解之，得?b??3??c?3.??c?3.??2y E M 3 1 2 4 C Q F x A O1 P O O2 B ∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y??(2)EF与⊙O1、⊙O2都相切. 证明：连结O1E、OE、OF.
∵∠ECF＝∠AEO＝∠BFO＝90°, ∴四边形EOFC为矩形. ∴QE＝QO. ∴∠1＝∠2.
∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°， ∴EF与⊙O1相切.
33x?2233x?3.
同理：EF理⊙O2相切.
(3)作MP⊥OA于P，设MN＝a,由题意可得MP＝MN＝a. ∵MN∥OA,
∴△CMN∽△CAO. ∴∴
MNAO?CNCO.
a3?3?a3.
解之，得a?33?32.
此时，四边形OPMN是正方形. ∴MN?OP?∴P(?33?3233?32,0).
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考虑到四边形PMNO此时为正方形，
∴点P在原点时仍可满足△PNN是以MN为一直角边的等腰直角三角形.
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故x轴上存在点P使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形且P(?P(0,0).
33?32,0)或
5.（2004湖北宜昌）如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E(
154，
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238)，P是以AC为对角线的矩形ABCD
内部(不在各边上)的—个动点，点D在y轴，抛物线y＝ax+bx+1以P为顶点． (1)说明点A、C、E在一条条直线上；
(2)能否判断抛物线y＝ax2+bx+1的开口方向?请说明理由；
(3)设抛物线y＝ax2+bx+1与x轴有交点F、G(F在G的左侧)，△GAO与△FAO的面积差为3，且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点．这时能确定a、b的值吗?若能，请求出a、b的值；若不能，请确定a、b的取值范围． (本题图形仅供分析参考用)
Y D A C P B O X 12[解] （1）由题意，A(0，1)、C(4，3)确定的解析式为：y=将点E的坐标E(
154154x+1. 右边=
12，
238)代入y=
12x+1中，左边=
238，×
+1=
238，
12∵左边=右边，∴点E在直线y=在一条直线上.
x+1上，即点A、C、E
（2）解法一：由于动点P在矩形ABCD内部，∴点P的纵坐标大于点A的纵坐标，而点A与点P都在抛物线上，且P为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下 解法二：∵抛物线y=ax+bx+c的顶点P的纵坐标为＜3，由1＜1—
b22
4a—b4a2，且P在矩形ABCD内部，∴1＜
4a—b4a24a得—
b24a＞0，∴a＜0，∴抛物线的开口向下.
12（3）连接GA、FA，∵S△GAO—S△FAO=3 ∴GO·AO—
12FO·AO=3 ∵OA=1，∴GO—FO=6.
的两个根，
Y D A C P E B 设F（x1,0）、G（x2,0），则x1、x2为方程ax2+bx+c=0且x1＜x2，又∵a＜0，∴x1·x2=
1a＜0，∴x1＜0＜x2，
∴GO= x2，FO= —x1，∴x2—（—x1）=6， 即x2+x1=6，∵x2+x1= —∴b= —6a,
∴抛物线解析式为：y=ax2—6ax+1, 其顶点P的坐标为9a）, ∵顶点P在矩形ABCD内部， ∴1＜1—9a＜3, ∴—
29ba ∴—
ba=6，
F O G X （3，1—
＜a＜0.
由方程组 y=
y=ax—6ax+1
122
x+1
得：ax—（6a+
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6a?12
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∴x=0或x=
a=6+
12a.
当x=0时，即抛物线与线段AE交于点A，而这条抛物线与线段AE有两个不同的交 点，则有：0＜6+
综合得：—
2912a≤
154，解得：—
11229≤a＜—
112
43＜a＜— ∵b= —6a，∴
12＜b＜
6.（2004湖南长沙）已知两点O(0，0)、B(0，2)，⊙A过点B且与x轴分别相交于点O、C，⊙A被y轴分成段两圆弧，其弧长之比为3∶1，直线l与⊙A切于点O，抛物线的顶点在直线l上运动. （1）求⊙A的半径；
（2）若抛物线经过O、C两点，求抛物线的解析式；
（3）过l上一点P的直线与⊙A交于C、E两点，且PC＝CE，求点E的坐标；
（4）若抛物线与x轴分别相交于C、F两点，其顶点P的横坐标为m，求△PEC的面积关于m的函数解析式.
[解] (1)由弧长之比为3∶1，可得∠BAO＝90o
再由AB＝AO＝r，且OB＝2，得r＝2 (2)⊙A的切线l过原点，可设l为y＝kx
任取l上一点(b，kb)，由l与y轴夹角为45o可得： b＝－kb或b＝kb，得k＝－1或k＝1， ∴直线l的解析式为y＝－x或y＝x 又由r＝2，易得C(2，0)或C(－2，0)
由此可设抛物线解析式为y＝ax(x－2)或y＝ax(x＋2) 再把顶点坐标代入l的解析式中得a＝1 ∴抛物线为y＝x2－2x或y＝x2＋2x
……6分
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y 0 x (3)当l的解析式为y＝－x时，由P在l上，可设P(m，－m)(m＞0) 过P作PP′⊥x轴于P′，∴OP′＝|m|，PP′＝|－m|，∴OP＝2m，
又由切割线定理可得：OP2＝PC·PE,且PC＝CE，得PC＝PE＝m＝PP′7分 ∴C与P′为同一点，即PE⊥x轴于C，∴m＝－2，E(－2，2)…8分 同理，当l的解析式为y＝x时，m＝－2，E(－2，2)
(4)若C(2，0)，此时l为y＝－x，∵P与点O、点C不重合，∴m≠0且m≠2， 当m＜0时，FC＝2(2－m)，高为|yp|即为－m， ∴S＝
2(2?m)(?m)2?m?2m
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同理当0＜m＜2时，S＝－m2＋2m；当m＞2时，S＝m2－2m；
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?m2?2m(m?0或m?2)∴S＝? 又若C(－2，0)， 2??m?2m(0?m?2)
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?m2?2m(m??2或m?0)此时l为y＝x，同理可得；S＝? 2??m?2m(?2?m?0)
7.（2006江苏连云港）如图，直线y?kx?4与函数y?x、y轴分别交于C、D两点．
（1）若?COD的面积是?AOB的面积的2倍，求k与m之间的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，是否存在k和m，使得以AB为直径的圆经过点P(2,0)．若存在，求出k和m的值；若不存在，请说明理由．
mx(x?0,m?0)的图像交于A、B两点，且与
A A [解]（1）设A(x1,y1)，B(x2,y2)(其中x1?x2,y1?y2)，
由S?COD?∴
122S?AOB，得S?COD?2(S?AOD?S?BOD)
CAOC··OD?2(
12OD··y1?12OD··y2)，OC?2(y1?y2)， OPBD又OC?4，∴(y1?y2)2?8，即(y1?y2)2?4y1y2?8， 由y?mx可得x?my，代入y?kx?4可得y2?4y?km?0 ①
∴y1?y2?4，y1?y2??km， ∴16?4km?8，即k??2m．
CA又方程①的判别式??16?4km?8?0， ∴所求的函数关系式为k??2m(m?0)．
PBND（2）假设存在k,m，使得以AB为直径的圆经过点P(2,0)． O M则AP?BP，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N． ∵?MAP与?BPN都与?APM互余，∴?MAP ??BPN． ∴Rt?MAP∽Rt?NPB，∴∴
y1x2?2?2?x1y2AMPN?MPNB．
my1?2)(my2?2)?y1y2?0，
，∴(x1?2)(x2?2)?y1y2?0， ∴( 我们共同努力！