发布时间 : 星期二 文章高考圆锥曲线概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结圆锥曲线更新完毕开始阅读e55f8ab365ce05087632132f
圆锥曲线概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
1.圆锥曲线的两个定义：
（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹是线段F1F2，当常数小于F1F2时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数
2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a＜|F1F2|不可忽视。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如（1）已知定点F1(?3,0),F2(3,0)，在满足
下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A．PF B．PF 1?PF2?41?PF2?6C．PF D．PF11?PF2?102?PF22；（2）方程?12（答：C）
(x?62)?y2?表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） (x?62)?y2?8（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线
距为分母”，其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点
x2上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2） Q(22,0)及抛物线y?42.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
x2y2x?acos?（1）椭圆：焦点在x轴上时2?2?1（a?b?0）?（参数方程，
y?bsin?aby2x2其中?为参数），焦点在y轴上时2?2＝1（a?b?0）。方程Ax2?By2?C表示椭圆
abx2y2的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。如（1）已知方程??13?k2?k11表示椭圆，则k的取值范围为____（答：(?3,?)?(?,2)）；（2）若x,y?R，且
223x2?2y2?6，则x?y的最大值是____，x2?y2的最小值是___（答：5,2）
x2y2y2x2（2）双曲线：焦点在x轴上：2?2 =1，焦点在y轴上：2?2＝1（a?0,b?0）。
abab方程Ax2?By2?C表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。如（1）
x2y25双曲线的离心率等于，且与椭圆?则该双曲线的方程_______（答：?1有公共焦点，
9422x；（2）设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e?2的双曲?y2?1）
4线C过点P(4,?10)，则C的方程为_______（答：x2?y2?6）
（3）抛物线：开口向右时y?2px(p?0)，开口向左时y??2px(p?0)，开口向上时x?2py(p?0)，开口向下时x??2py(p?0)。
3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：
（1）椭圆：由x2?2222,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程
3x2y2(??,?1)?(1,)）则m的取值范围是__（答： ??1表示焦点在y轴上的椭圆，
2m?12?m当前第 1 页共8页
（2）双曲线：由x,y项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1，F2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数a,b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a最大，a?b?c，在双曲线中，c最大，
22222c2?a2?b2。
4.圆锥曲线的几何性质：
x2y2（1）椭圆（以2?2?1（a?b?0）为例）：①范围：?a?x?a,?b?y?b；
ab②焦点：两个焦点(?c,0)；③对称性：两条对称轴x?0,y?0，一个对称中心（0,0），四a2个顶点(?a,0),(0,?b)，其中长轴长为2a，短轴长为2b；④准线：两条准线x??； ⑤
cc离心率：e?，椭圆?0?e?1，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。如（1）若椭
a25x2y210圆，则m的值是__（答：3或）；（2）以椭圆上一点和椭??1的离心率e?35m5圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：22）
x2y2??1（a?0,b?0）为例）（2）双曲线（以：①范围：x??a或x?a,y?R；a2b2②焦点：两个焦点(?c,0)；③对称性：两条对称轴x?0,y?0，一个对称中心（0,0），两个顶点(?a,0)，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称
2a为等轴双曲线，其方程可设为x2?y2?k,k?0；④准线：两条准线x??； ⑤离心率：
cce?，双曲线?e?1，等轴双曲线?e?2，e越小，开口越小，e越大，开口越大；
ab⑥两条渐近线：y??x。如（1）双曲线的渐近线方程是3x?2y?0，则该双曲线的离心
a131322率等于______（答：或）；（2）双曲线ax?by?1的离心率为5，则a:b= 231x2y2 （答：4或）；（3）设双曲线2?2?1（a>0,b>0）中，离心率e∈[2,2],
4ab??则两条渐近线夹角θ的取值范围是________（答：[,]）；
322（3）抛物线（以y?2px(p?0)为例）：①范围：x?0,y?R；②焦点：一个焦点p(,0)，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴y?0，没有对2pc称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线x??； ⑤离心率：e?，抛物线
2a?e?1。如设a?0,a?R，则抛物线y?4ax2的焦点坐标为________（答：(0,1； )）16ax2y25、点P(x0,y0)和椭圆2?2?1（a?b?0）的关系：（1）点P(x0,y0)在椭圆外
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2222x0y0x0y0（2）点P(x0,y0)在椭圆上?2?2＝1；（3）点P(x0,y0)在椭圆内?2?2?1；
abab22x0y0?2?2?1
ab6．直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交：??0?直线与椭圆相交； ??0?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有??0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故??0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；??0?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有??0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故??0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。如
22
（1）若直线y=kx+2与双曲线x-y=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______
x2y215??1恒有公共点，则m的取值（答：(-,-1)）；（2）直线y―kx―1=0与椭圆
5m3x2y2??1的右焦点直线交双范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；（3）过双曲线12曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有_____条（答：3）；
（2）相切：??0?直线与椭圆相切；??0?直线与双曲线相切；??0?直线与抛物线相切；
（3）相离：??0?直线与椭圆相离；??0?直线与双曲线相离；??0?直线与抛物线相离。
特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线
x2y2与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线2?2＝1外一
ab点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含
双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。如（1）过点(2,4)作直线与抛物线y?8x只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）；（2）过
2x2y2点(0,2)与双曲线??1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______（答：
916?y2?445??2；（3）过双曲线x??1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若??,??）
332????；（4）对于抛物线C：y2?4x，我们称AB?4，则满足条件的直线l有____条（答：3）
满足y0?4x0的点M(x0,y0)在抛物线的内部，若点M(x0,y0)在抛物线的内部，则直线l：
2；（5）过抛物线y?4x的焦y0y?2(x?x0)与抛物线C的位置关系是_______（答：相离）
2q，点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、则
11??_______pqx2y2??1的右焦点为F，右准线为l，设某直线m交其左支、（答：1）；（6）设双曲线
169右支和右准线分别于P,Q,R，则?PFR和?QFR的大小关系为___________(填大于、小于或等于) （答：等于）；（7）求椭圆7x2?4y2?28上的点到直线3x?2y?16?0的最短距
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813）；（8）直线y?ax?1与双曲线3x2?y2?1交于A、B两点。①当a为何13值时，A、B分别在双曲线的两支上？②当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？（答：①?3,3；②a??1）；
离（答：??7、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径r?ed，其中d表示P到与F所对应的准线的距离。
x2y2如（1）已知椭圆??1上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为
251635）；（2）已知抛物线方程为y2?8x，若抛物线上一点到y轴的距离等于5，3则它到抛物线的焦点的距离等于____；（3）若该抛物线上的点M到焦点的距离是4，则点Mx2y2的坐标为_____（答：7,(2,?4)）；（4）点P在椭圆??1上，它到左焦点的距离是它
259252到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为_______（答：）；（5）抛物线y?2x上的两
12点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到y轴的距离为______（答：2）；（6）椭
____（答：
x2y2圆??1内有一点P(1,?1)，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使MP?2MF 之值
4326最小，则点M的坐标为_______（答：(； ,?1)）
38、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点P(x0,y0)到两焦点F1,F2的距离分
x2y22b2S，则在椭圆2?2?1中， ①?＝arccos(别为r?1)，1,r2，焦点?F1PF2的面积为
abr1r2?b2?c22P??S?btan?c|y0|，arccos且当r即为短轴端点时，最大为＝；②?rmax122a2x2y2当|y0|?b即P为短轴端点时，Smax的最大值为bc；对于双曲线2?2?1的焦点三角形
ab?2b2?1?2?1?S?rrsin??bcot有：①??arccos?；②。如（1）短轴长为5，离心12??rr2212??2的椭圆的两焦点为F1、F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则?ABF2的周长为3________（答：6）；（2）设P是等轴双曲线x2?y2?a2(a?0)右支上一点，F1、F2是左右
率e?焦点，若PF2?F1F2?0，|PF1|=6，则该双曲线的方程为 （答：x2?y2?4）；
x2y2→→
??1的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当PF（3）椭圆2 ·PF1 <0时，点P的9435356(?,)）横坐标的取值范围是 （答：；（4）双曲线的虚轴长为4，离心率e＝，
552F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且AB是AF2与BF2等差中项，则AB＝__________（答：82）；（5）已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且?F1PF2?60，S?PF1F2?123．求该双曲线的标准方程
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