发布时间 : 星期五 文章(完整word版)概率论和数理统计考试试题和答案解析更新完毕开始阅读e601d4580875f46527d3240c844769eae109a318
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一.填空题（每空题2分，共计60分）
1、A、B是两个随机事件，已知p(A)?0.4,P(B)?0.5,p(AB)?0.3，则p(A?B)? 0.6 ,
p(A-B)? 0.1 ，P(A?B)= 0.4 , p(AB)?0.6。
2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。（1）从中不放回地任取2只，则第一次、
第二次取红色球的概率为： 1/3 。（2）若有放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 9/25 。（3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 21/55 。 3、设随机变量X服从B（2，0.5）的二项分布，则p?X?1??0.75, Y 服从二项分布B(98, 0.5), X与Y相互独立, 则X+Y服从 B(100,0.5)，E(X+Y)= 50 ，方差D(X+Y)= 25 。 4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、0.15．现从由甲厂、
乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。 （1）抽到次品的概率为： 0.12 。
（2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为： 0.5 ． 5、设二维随机向量(X,Y)的分布律如右，则a?0.1, E(X)?0.4，
X与Y的协方差为: - 0.2 ，
X Y -1 1 0 1 0.2 0.3 0.4 a Z?X?Y2的分布律为:
z 1 2 0.6 0.4 概率 6、若随机变量X~N(2, 4)且?(1)?0.8413，?(2)?0.9772,则P{?2?X?4}?0.815 ，
Y?2X?1,则Y~N( 5 ， 16 ）。
7、随机变量X、Y的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1，D(Y)=2, 且X、Y相互独立，则：
E(2X?Y)? - 4 ，D(2X?Y)? 6 。
（X）?25，D（Y）?1，Cov(X,Y)?2，则D（X?Y）? 30 8、设D9、设X1,?,X26是总体N(8,16)的容量为26的样本，X为样本均值，S2为样本方差。则：X~N（8 ， 8/13 ），
X?8252~ t(25)。 S~?2(25)，
16s/25优质.参考.资料
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?ax2, 0?x?1二、（6分）已知随机变量X的密度函数f(x)??
0 , 其它?求：（1）常数a， （2）p(0.5?X?1.5)（3）X的分布函数F（x）。
解:(1)由
?????f(x)dx?1,得a?3 2’
(2) p(0.5?X?1?5)=
?1..50.5f(x)dx??3x2dx?0.875 2’
0.51?0 x?0? (3) F(x)??x3, 0?x?1 2’
?1 , 1?x?0?x?1,0?y?1?2y, 三、（6分）设随机变量（X，Y）的联合概率密度为：f(x,y)??
0 , 其它?求：（1）X，Y的边缘密度，（2）讨论X与Y的独立性。 解:(1) X，Y的边缘密度分别为:
1?0?x?1??02ydy?1 fX(x)??? 其他 ?0 ? 0?y?1?f(x，y)dx??02ydx?2y，fY(y)?????? 其他?0 (2)由(1)可见
??1 4’
f（x，y）?f（?f（, 可知: X，Y相互独立 2’ Xx）Yy）
一. 填空题（每小题2分，共计60分）
1. 设随机试验E对应的样本空间为S。 与其任何事件不相容的事件为 不可能事件， 而与其任何事件相互独立的事件为 必然事件；设E为等可能型试验，且S包含10个样本点，则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为 1/10。
2．P(A)?0.4,P(B)?0.3。若
A与B独立，则P(A?B)? 0。28 ；若已知A,B中至少有一个事件发
生的概率为0.6，则P(A?B)? 0.3，P(AB)? 1/3 。
3、一个袋子中有大小相同的红球5只黑球3只，从中不放回地任取2只，则取到球颜色不同的概率为： 15/28。
若有放回地回地任取2只，则取到球颜色不同的概率为： 15/32 。 4、E(X)?D(X)?1。若X服从泊松分布，则P{X?0}?1?e优质.参考.资料
?1；若
X服从均匀分布，则P{X?0}? 0 。
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5、设X~N(?,?)，且P{X?2}?P{X?2}, P{2?X?4}?0.3，则?2 ? 2 ；P{X?0}? 0.8 。
6、某体育彩票设有两个等级的奖励，一等奖为4元，二等奖2元，假设中一、二等奖的概率分别为0.3和0.5, 且每张彩票卖2元。是否买此彩票的明智选择为： 买 （买，不买或无所谓）。
〈0X〈4?? 0.75 ；E(2X?1)?__7___， 7、若随机变量X~U(1,5)，则p?D(3X?1)? 12 ．
8、设
6X~b(n,p),E(X)?2.4,D(X)?1.44，则
P{X?n}?0.43，并简化计算
22?6?k6?k6?0.4?0.6?(6?0.4)?7.2。 ??k0.40.6???k?k?0??9、随机变量X、Y的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1，D(Y)=2, 且X、Y相互独立，则：E(2X?Y)?
-4 ，D(2X?Y)? 6 。
10、设X1,?,X16是总体N(20,4)的容量为16的样本，X为样本均值，S为样本方差。
则：X，pX?20?1= 0.0556 ， ~N（20， 1/4 ）
2??X?20152S~?2(15)，~ t(15)。 16s/15此题中?(2)?0.9772。
??e??x, x?0111、随机变量X的概率密度f(x)?? ，则称X服从指数分布，E(X)?。
?0, x?0?13、设二维随机向量(X,Y)的分布律是： 则X的方差D(X)? 0.21 ；
X与Y的相关系数为:?XY? 3/7 。
X Y 0 1
0 1 0.4 0.3 0.3 0 二、 （7分）甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂、丙厂的次品率分别为0.2，0.1，0.3．现从
由甲厂、乙厂、丙厂的产品分别占15%，80%，5%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品为甲厂生产的概率．
解：设A1,A2,A3分别表示产品取自甲、乙、丙厂， 有： p(A1)?15%,P(A2)?80%,P(A3)?5% 2’
A1)?0.2,P(BA2)?0.1,P(BA3)?0.3， 2’
B 表示取到次品，p(B优质.参考.资料
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由贝叶斯公式：p(A1B)=
p(A1)?P(BA1)（/?p(Ak)?P(BAk)?0.24 4’
k?13三、（7分）已知随机变量X的密度函数
0?x?1?ax, f(x)?? , 其它?0 求：（1）常数a， （2）p(0?X?0.5)（3）X的分布函数F（x）。 解:(1)由 (2)
?????f(x)dx?1,得a?2 2’
0.50.5p(0.?X?1?5)=?0f(x)dx??02xdx?0.25 3’
?0 x?0?2 (3) F(x)??x, 0?x?1 2’
?1 , 1?x?四、（7分）设随机变量（X，Y）的联合概率密度为：
0?x?1,0?y?1?4xy, f(x,y)?? , 其它?0 求：（1）X，Y的边缘密度，（2）由（1）判断X，Y的独立性。 解:(1) X，Y的边缘密度分别为:
??1?f(x，y)dy? 0?x?1??04xydy?2x，fX(x)?????? 其他 ?0 ? 0?y?1?f(x，y)dx??04xydx?2y，fY(y)?????? 其他?0 (2)由(1)可见
??1 5’
f（x，y）?f（?f（, 可知: X，Y相互独立 2’ Xx）Yy）
七、（5分）某人寿保险公司每年有10000人投保，每人每年付12元的保费，如果该年内投保人死亡，保险公司应付1000元的赔偿费，已知一个人一年内死亡的概率为0.0064。用中心极限定理近似计算该保险公司一年内的利润不少于48000元的概率。已知?(1)?0.8413，?(2)?0.9772。 解:设X为该保险公司一年内的投保人死亡人数,则X∽B(10000,0.0064)。 该保险公司的利润函数为：L?120000?1000?X。 2‘
所以P{L?48000}?P{120000?1000?X?48000}?P{X?72}
X?6410000?0.0064?0.9936?72?64}用中心极限定理
7.996 ?P{ ??(1)?0.8413 3‘
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