发布时间 : 星期六 文章五年级上册奥数讲义更新完毕开始阅读e622a79417fc700abb68a98271fe910ef12daefe
学习必备 欢迎下载
?????优才家教 优等生同步奥数提高 五年级(下)?????
第一讲 整数问题 第1课 数的整除
一、知识要点
1. 整除——因数、倍数
? 必要条件:
(1)a、b、c三个数是整数 (2)b≠0 (3)a÷b=c
? 结论:整数a能被整数b整除,或b能整除a,则a叫做b的倍数,b叫做a的因数。 记作:b|a
整数a除以整数b(b≠0)等于c(c是整数且没有余数),那么说a能被b整除,或b能整 除a,a叫做b的倍数,b叫做a的因数。 2. 相关基础知识点回顾
(1)0是任何整数的倍数。 (2)1是任何整数的因数。
3. 数整除的性质
性质1:如果a、b都能被m整除,那么它们的和与差也能被m整除。 即:如果m|a,m|b,那么m|(a±b)。 例如:如果2|10,2|6,那么2|(10+6),并且2|(10—6)。
性质2:如果a能同时被m、n整除,那么a也一定能被m和n的最小公倍数整除。 即:如果m|a,n|a,那么 [m,n]|a。 例如:如果6|36,9|36,那么[6,9]|36。
性质3:如果m、n都能整除a,且m和n互质,那么m与n的积能整除a。 即:如果m|a,n|a,且(m,n)=1,那么(m×n)|a。 例如:如果2|72,9|72,且(2,7)=1,那么18|72。
学习必备 欢迎下载
性质4:如果a能整除b,b能整除m,那么a能整除m。 即:如果a|b,b|m,那么a|m。 例:如果7|14,14|28,那么7|28。
4. 数的整除特征
(1)能被2整除的数的特征:如果一个整数的个位数是偶数(即个位数是2、4、6、8、0),那么它必能被2整除。
(2)能被5整除的数的特征:如果一个整数的个位数字是0或5,那么它必能被5整除。
(3)能被3(或9)整除的数的特征:如果一个整数的各位数字之和能被3(或9)整除,那么它必能被3(或9)整除。
(4)能被4(或25)整除的数的特征:如果一个整数的末两位数能被4(或25)整除,那么它必能被4(或25)整除。
例:1864能否被4整除?
解:1864=1800+64,因为4|64, 4是1864的因数,1864是4的倍数,所以4|1864。
(5)能被8(或125)整除的数的特征:如果一个整数的末三位数能被8(或125)整除,那么它必能被8(或125)整除。
例:29375能否被125整除?
解:29375=29000+375,因为125|375,125是375的因数,375是125的倍数,所以125|29375。
(6)能被11整除的数的特征:如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差(大减小)能被11整除,那么它必能被11整除。(奇数位指:这个数的个位、百位、万位……;偶数位指:这个数的十位、千位、十万位……)
例:判断13574是否是11的倍数?
解:这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是:(4+5+1)-(7+3)=0。因为0是任何整数的倍数,所以11|0。因此13574是11的倍数。 例:判断123456789这九位数能否被11整除?
解:这个数奇数位上的数字之和是9+7+5+3+1=25,偶数位上的数字之和是8+6+4+2=20.因为25—20=5,又因为11 5,所以11 123456789。
(7)能被7(11或13)整除的数的特征:一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(以大减小)能被7(11或13)整除。
例:判断1059282是否是7的倍数?
解:把1059282分为1059和282两个数。因为1059-282=777,又因为7|777,所以7|1059282。因此1059282是7的倍数。
例:判断3546725能否被13整除?
解:把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数,因为821—2=819,又13|819,所以13|2821,进而13|3546725。
学习必备 欢迎下载
二、典型例题详解
猜猜会是什么数?
【例1】:一个856 解:先将856
五位数,能被3、4、5整除,这样的五位数中,最小的一个是多少?
,看做856ab。
∵3|856ab,则3|8+5+6+a+b,3|19+a+b,∴a+b=2或a+b=5或a+b=8。 ∵4|856ab,则4|ab,∴ab=偶数
∵5|856ab,则b=0或b=5,又∵ab为偶数,∴b=0 ∵a+b=2或a+b=5或a+b=8,且b=0,∴a=2或a=5或a=8
当a=2,b=0时,这个数为85620;当a=5,b=0时,这个数为85650;当a=8,b=0时,这个数为85680。 答:五位数中最小的一个是85620。
【例2】:一本老账本上记着:72只桶,共67.9元,其中□处是被虫蛀掉的数字,请把这笔账补上。 解:先将67.9,看做整数a679b。
∵72=8×9,且(8,9)=1,∴8|a679b,且9|a679b。 若8|a679b,则8|79b,所以b=2。
若9|a679b,b=2,则9|a6792,9|a+6+7+9+2,9|a+24,所以a应是3。 所以这个数应是 答:这笔账应是 元。
【例3】:173
是一个四位数,在其中的方框中先后填入三个数字,所得到的三个四位数,依次可以被9、
11、6整除。先后填入的三个数字的和是多少?
[方法一] 试商法
解:
[方法二] 倍数特征 解:
学习必备 欢迎下载
三、课后作业
1. 在中填入适当的数字,使所组成的数能够被 4整除。
784 7653 863
3. 一个六位数2356
是22的倍数,那么这样
的六位数中,最大的一个是多少?
2. 71450至少加上多少后就能被4整除?
4. 如果两个数的和是64,这两个数的积可以整除4875,那么这两个数的差是多少?
5.一位采购员买了同样的72只热水杯,可是发票不慎弄湿,单价无法辨认,总价数字也不全,只能看出: 173. 元。你能算出热水杯的单价吗?