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曾谨言量子力学题库
一简述题：
1. （1）试述Wien公式、Rayleigh-Jeans公式和Planck公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问
题上的差别
2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr的量子理论
5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理
8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件
10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为?(r,?,?)，写出粒子在球壳(r,r?dr)中被测到的几率以及在
(?,?)方向的立体角元d??sin?d?d?中找到粒子的几率。
11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）?(x)??(x)是否定态？为什么？ 13.（2）设??1ikre，试写成其几率密度和几率流密度 r14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应
16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念
20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？
?、B?、B?对易，即[A?是否可同时取得确定值？?均与算符C?、C?,C?]?[B?]?0，A?,C21.（4）若算符A为什么？并举例说明。
22.（4）对于力学量A与B，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。
?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ ?x和x方向的角动量L23.（4）微观粒子x方向的动量px24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式
25.（4）简述幺正变换的性质
26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在V(x)?1??2x2的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态2Schr?dinger方程。
28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。
?,B?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？ ?,C29.（4）如果Aa)
1?31????1???) ?AB?BA) b) (AB?iBA b) (A22230.（5）试述守恒量完全集的概念
31.（5）全同粒子有何特点？对波函数有什么要求？ 32.（5）试述守恒量的概念及其性质
33.（5）自由粒子的动量和能量是否为守恒量？为什么？
2??p???e?z。试判断p?x,p?y,p?z各34.（5）电子在均匀电场E?(0,0,?)中运动，哈密顿量为H2m量中哪些是守恒量，并给出理由。
35.（5）自由粒子的动量和能量是否为守恒量？为什么？
36.（6）中心力场中粒子处于定态，试讨论轨道角动量是否有确定值 37.（6）写出中心力场中的粒子的所有守恒量
38.（6）试给出氢原子的能级简并度并与一般中心力场中运动粒子的能级简并度进行比较
39.（6）二维、三维各向同性谐振子及一维谐振子的能级结构有何异同，并给出二维、三维各向同性
谐振子能级简并度。 40.（6） 氢原子体系处于状态 ?(r,?,?)?13R3,1(r)Y1,1(?,?)?R3,2(r)Y2,?1(?,?)，给出L2和Lz22可能取值及取值几率，并说明该状态是否是定态？为什么？
2?2?2?L????41（6）已知中心力场中运动的粒子哈密顿表示为H(r)??V(r)，试列举出几种22?r2?r?r2?r该量子体系力学量完全集的选取方案。
42.（7）什么是正常Zeeman效应？写成与其相应的哈密顿量，并指出系统的守恒量有哪些。 43.（8）试给出电子具有自旋的实验依据
44.（8）写出?z表象中?x、?y和?z的本征值与本征态矢 45.（8）试述旋量波函数的概念及物理意义
46.（8）以?和?分别表示自旋向上和自旋向下的归一化波函数，写出两电子体系的自旋单态和自旋三重态波函数（只写自旋部分波函数）。
47.（8）若|α>和|β>是氢原子的定态矢（电子和质子的相互作用为库仑作用，并计及电子的自旋—轨道
耦合项），试给出|α>和|β>态的守恒量完全集
??的矩阵分别为 ?表象中，H?与H??H??H??，H48.（10）若在H000?10?3000????100????010H,0?0?40100???000106????0.10.101???0.10.200?， ????H?0015????1052?????看作微扰，从而利用微扰理论求解H?的本征值与本征态？为什么? 是否可以将H49.（11）利用Einstein自发辐射理论说明自发辐射存在的必然性。 50.（11）是否能用可见光产生 1阿秒(10?18s) 的激光短脉冲，利用能量—时间测不准关系说明原因。
51.（11）试给出跃迁的Fermi 黄金规则（golden rule）公式，并说明式中各个因子的含义。 52.?（8）在质心坐标系中，设入射粒子的散射振幅为f(?)，写出靶粒子的散射振幅，并分别写出全
同玻色子碰撞和无极化全同费米子碰撞的微分散射截面表达式。?
二、判断正误题（请说明理由）
1. （2）由波函数可以确定微观粒子的轨道
2. （2）波函数本身是连续的，由它推求的体系力学量也是连续的
3. （2）平面波表示具有确定能量的自由粒子，故可用来描述真实粒子
4. （2）因为波包随着时间的推移要在空间扩散，故真实粒子不能用波包描述 5. （2）正是由于微观粒子的波粒二象性才导致了测不准关系 6. （2）测不准关系式是判别经典力学是否适用的标准
?与时间t无关，则体系一定处于定态 7. （2）设一体系的哈密顿H8. （2）不同定态的线性叠加还是定态
9. （3）对阶梯型方位势，定态波函数连续，则其导数必然连续
?显含时间t，则体系不可能处于定态，H?不显含时间t，则体系一定处于定态 10.（3）H11.（3）一维束缚态能级必定数非简并的
12.（3）一维粒子处于势阱中，则至少有一条束缚态
13.（3）粒子在一维无限深势阱中运动，其动量一定是守恒量 14.（3）量子力学中，静止的波是不存在的 15.（3）δ势阱不存在束缚态
?x??i?16.（4）自由粒子的能量本征态可取为sinkx，它也是p17.（4）若两个算符有共同本征态，则它们彼此对易
18.（4）在量子力学中，一切可观测量都是厄米算符
?的本征态 ?x?,B?B?是厄米算符，其积A?不一定是厄米算符 19.（4）如果A20.（4）能量的本征态的叠加态仍然是能量的本征态
?,B?,B?对易，则A?在任意态中可同时确定 21.（4）若A?,B?,B?不对易，则A?在任何情况下不可同时确定 22.（4）若A23.（4）
?不可同时确定 ?x和Lpx?的本征函数必是B?的本征函数 A?,B?对易，则24.（4）若A25.（4）对应一个本征值有几个本征函数就是几重简并
26.（4）若两个三个，则它们不可能同时有确定值 27.（4）测不准关系只适用于不对易的物理量
28.（4）根据测不准原理，任一微观粒子的动量都不能精确测定，只能求其平均值 29.（4）力学量的平均值一定是实数
30.（5）体系具有空间反演不变性，则能量本征态一定具有确定的宇称 31.（5）在非定态下力学量的平均值随时间变化
32.（5）体系能级简并必然是某种对称性造成的
33.（5）量子体系的守恒量无论在什么态下，平均值和几率分布都不随时间改变 34.（5）全同粒子系统的波函数必然是反对称的
35.（5）全同粒子体系波函数的对称性将随时间发生改变
36.（5）描述全体粒子体系的波函数，对内部粒子的随意交换有确定的对称性
?是守恒量，那么L?就不是守恒量 37.（6）粒子在中心力场中运动，若角动量Lzx38.（6）在中心力场V(r)中运动的粒子，轨道角动量各分量都守恒 39.（6）中心力场中粒子的能量一定是简并的
40.（6）中心力场中粒子能级的简并度至少为2l?1,l?0,1,2,? 41.（8）电子的自旋沿任何方向的投影只能取?/2
42.（8）两电子的自旋反平行态为三重态
三、证明题：
??(r,t)??*(r,t)?(r,t)??j?0，其中??1. （2）试由Schr?dinger方程出发，证明????? i?*j(r,t)??(????c.c.)?t?2m?2. （3）一维粒子波函?(x)数满足定态Schr?dinger方程，若?1(x)、?2(x)都是方程的解，则有
?1?2'??2?1'?常数（与x无关）3. （3）设?(x)是定态薛定谔方程对应于能量E的非简并解，则此解可取为实解
4. （2）设?1(x)和?2(x)是定态薛定谔方程对应于能量E的简并解，试证明二者的线性组合也是该
定态方程对应于能量E的解。
5. （3）对于?势垒，V(x)???(x)，试证?势中?'(x)的跃变条件
??2d2?6. （3）设?(x)是定态薛定谔方程???V(x)??(x)?E?(x)的一个解，对应的能量为E，2?2mdx?试证明?*(x)也是方程的一个解，对应的能量也为E
7. （3）一维谐振子势场m?2x2/2中的粒子处于任意的非定态。试证明该粒子的位置概率分布经历
一个周期2?/?后复原。 8. （3）对于阶梯形方势场 V(x)??导数??(x)必定连续。
9. （3）证明一维规则势场中运动的粒子，其束缚态能级必定是非简并的 10.（4）证明定理：体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为实数
?V1,?V2x?ax?a ，若(V2?V1)有限，则定态波函数?(x)及其