发布时间 : 星期一 文章曾量子力学题库（网用）更新完毕开始阅读e62398baa5e9856a561260bf
1）平均值x2；2）平均值p2；3）动量的几率分布函数。
?（提示：①xne?Kxdx??0212?(n?1)2,K?0,?函数满足递推关系： n?12K1?(z?1)?z?(z),?(1)?1,?()?2???②?e??22?；
x?2i?xdx??e???2?2）。
11.（3）把传导电子限制在金属内部的是金属内势的一种平均势， 对于下列一维模型（如图）
MetalAV(x)?V,x?0
V(x)?{00,x?0试就（1）E?0，（2）?V0Vacuumx?E?0两种情况计算
-V0BC接近金属表面的传导电子的反射和透射几率。 12.（3、4）设t?0时，质量为m、频率为?的谐振子处于
?(x,c)?Ae1??2x22[(cos?)H0(?x)?1/2sin?H2(?x)] 22?m?? 状态，其中A,?是实常数，???????（1） 求归一化常数A；
（2） 求t时刻体系的状态?(x,t)； （3） 求t时刻位置的平均值x(t)； （4） 求谐振子能量取值及相应几率
,Hn(?x)是厄米多项式。
13.（3）设一维粒子由x???处以平面波?in?eikx入射，在原点处受到势能V(x)?V0?(x)的作用。
（1）写出波函数的一般表达式；（2）确定粒子在原点处满足的边界条件；（3）求出该粒子的透 射系数和反射系数；（4）分别指出V0?0与V0?0时的量子力学效应。
14. （3、4、5）设一维线性谐振子处于基态
?x? （1）求?x?,?p （2）写出本征能量E，并说明它反映微观粒子的什么性质
22???x??x???x? （3）利用位力定理证明：?x?px??/2，其中 ? 22?x???p?x????px??p?1?n?1n??n?1??n?1?15. （4）设一维谐振子能量本征函数为?n。试利用递推公式x?n???求谐??22?振子坐标在能量表象中的矩阵表示
16.（4、5）一维谐振子t?0时处于基态?0和第一激发态?1的叠加态
?(x,0)?1??2x2212(?0(x)??1(x))
其中?0(x)?N0e，?1(x)?N1e1??2x222?x
（1）求t时刻位置和动量的平均值?x?t,?p?t；
（2）证明对于一维谐振子的任何状态，t时刻位置和动量的平均值有关系；
d1?x?t??p?t； dtm （3）求t时刻能量的平均值?H?t
17.（4）设体系处于??c1Y10?c2Y21状态（已归一化，即|c1|2?|c2|2?1）。求 ①l?z的可能测值及平均值；
?的可能测值及相应的几率。 ②l2 18．（4）设一量子体系处于用波函数?(??)?1(ei?sin??cos?)所描述的量子态中。试求4??的可能测值和各个值出现的几率；?的平均值 （1）在该态下l（2）lzz19.（6）t?0时氢原子的波函数为?(r,0)?跃迁。
（1）写出系统能量、角动量平方L及角动量z分量Lz的可能测值（表示成基本物理的函数即
可）；
（2）上述物理量的可能测值出现的几率和期望值； （3）写出t时刻的波函数。 20.（6）求势场V(r)?2
110[2?100??210?2?211?3?21?1]。忽略自旋和
AB?中的粒子的能级和定态波函数（A,B>0） 2rr? 21.（7、8）设有一个定域电子，受到沿x方向均匀磁场B的作用，Hamiltonian量（不考虑轨道运动）
eBeB???的平均值。 sx??x。设t?0时电子自旋“向上”（sz?），求t?0时smc2mc2 22. （8）假设一个定域电子（忽略电子轨道运动）在均匀磁场中运动，磁场B沿z轴正向，电子磁矩
??表为He???????gs，在均匀磁场中的势能为：V????B，其中（gs?2）为电子的磁矩,自旋用s2me??泡利矩阵s???表示。 ?2???； ??H?t??（2）假设t?0时，电子自旋指向x轴正向，即sx?，求t?0时，自旋s的平均值；
2?（3）求t?0时，电子自旋指向y轴负向，即sy??的几率是多少？
2?的粒子处于沿 x 方向的均匀磁场B中。已知t=0时，???S 23. （8）自旋s?1，并具有自旋磁矩M02（1）求定域电子在磁场中的哈密顿量，并列出电子满足的薛定谔方程：i?粒子的sz??，求在以后任意时刻发现粒子具有sy???的几率。
22?表象中求自旋角动量在(sin?cos?,sin?sin?,cos?)方向的投影 24.（8）在Sz??S?sin?cos??S?sin?sin??S?cos? Snxyz的本征值和所属的本征函数。
25．（8）两个自旋为1/2
??1???2?2
????的粒子，在(s1z,s2z)表象中的表示为?，其中，i 是第???????1??2?2i
个粒子自旋向上的几率，?i是第i个粒子自旋向下的几率。
?a. 求哈密顿量H?V0(?1x?2y??1y?2x)的本征值和本征函数（V0为一常数）；
??2?1,?2??1?0，求t时刻发现体系在态?1??2?0,?2??1?1
b. t=0时，体系处于态?1的几率（注：?ix,?iy为第i个粒子泡利算符的x, y分量）
??s?1?s?2，求总自旋的平方及 z 分量 26.（8）考虑由两个自旋为 1 的粒子组成的体系，总自旋S?,S?) 的共同本征态，并表示成s?1和s?2本征函数乘积的线性叠加（取?=1）(S。 z227.（8）一束自旋为
11的粒子进入Stern-Gerlach装置SG（I）后被分成两束，去掉其中sz??的一221束，另一束（sz???）进入第二个SG（II），SG（I）与SG（II）的夹角为?。则粒子
2束穿过SG（II）后又被分为两束，求这两束粒子的相对数目之比。
?z表象中??x的矩阵表示 28.（8）试求??和P?。令|29.（8）自旋为1/2的粒子，其自旋角动量算符和动量算符分别为S?的共同本征态，其本征值分别为?,P?,P?和S为Pzxyz试问：
（1）
（2）
px,py,pz,?1/2?
??S??P?。px,py,pz和??/2，算符A?是否为厄米算符？在以|p,p,p,?1/2?为基的空间中，A?的矩阵形式如何？ Axyz?的本征值是什么？求出A?,P?,P?,P?的共同本征函数系 Axyz??BS?的本征函数和本征值??AS30.（8）对自旋为1/2的粒子，Sy和Sz是自旋角动量算符，求Hyz（A与B是实常数）
?31.（8）电子处于沿y轴方向的均匀恒定磁场B中，t=0时刻在Sz表象中电子的自旋态为
?(0)????cos????，不考虑电子的轨道运动。 sin???（1）求任意t>0时刻体系的自旋波函数?(t)；
（2）在t时刻电子自旋各分量的平均值；
（3）指出哪些自旋分量是守恒量，并简述其理由。
32.（8）考虑两个电子组成的系统。它们空间部分波函数在交换电子空间部分坐标时可以是对称的或
是反对称的。由于电子是费米子，整体波函数在交换全部坐标变量（包括空间部分和自旋部分）时必须是反对称的。
???（1）假设空间部分波函数是反对称的，求对应自旋部分波函数。总自旋算符定义为：S?s1?s2。
?2?求：S和Sz的本征值；
（2）假设空间部分波函数是对称的，求对应自旋部分波函数，S和Sz的本征值；
（3）假设两电子系统哈密顿量为：H?Js1?s2，分别针对（1）（2）两种情形，求系统的能量。
?2???