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2010年秋季初一升初二数学衔接·第6讲
——几何初步与三角形
一. 知识要点:
??相交线???对顶角，邻补角几何初步????两直线相交???垂线及其性质??平行线???平行公理及其推论 ?判定及其性质???????按边分?不等边三角形??等腰三角形????底与腰不等的等腰三角形?分类?????等边三角形三角形???????斜三角形??按角分?锐角三角形?钝角三角形 ????????直角三角形??全等的概念??全等??全等的性质????全等的判定二. 典型例题：
例1、已知：如图，AC∥BD，O是线段AB上一点，且使OA＝AC，OB＝BD．求证：CO⊥OD．
分析：只需证∠COD＝90o即可．
自我解答：
证法一：∵∠A＋∠C＋∠1＝180°，∠B＋∠D＋∠2＝180°∴（∠A＋∠B）＋（∠C＋∠D）＋（∠1＋∠2）＝360°又∵AC//BD∴∠A＋∠B＝180°∵AO＝AC，OB＝BD∴∠C＝∠1，∠2＝∠D∴∠C＋∠D＝∠1＋∠2∴180°＋2（∠1＋∠2）＝360°∴∠1＋∠2＝90°，由于∠AOB是一个平角，所以∠COD＝180°－（∠1＋∠2）＝180°－90°＝90°∴CO⊥OD．
证法二：如图2，作OE∥AC，
∵AC//BD，∴AC//OE//BD， ∴∠C＝∠3，∠D＝∠4， ∵OA＝AC，OB＝OD， ∴∠1＝∠C，∠4＝∠D， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠1＋∠3＋∠2＋∠4＝180o， ∴∠3＋∠4＝90o， ∴CO⊥OD．
例2、在△ABC中，∠A︰∠B︰∠C=1︰2︰3，M是AB的中点，且CM=3，求△ABC的面积．
BMCA
自我解答：
分析：
由三个内角的比值可知△ABC是直角三角形，且有一个角是30°，于是由斜边上的中线长得斜边长及30°角所对直角边长，再由勾股定理求出另一条直角边长，可以求得面积． 解：
如图，设∠A=xo，
∵∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3， ∴∠B=2xo，∠C=3xo， 而∠A＋∠B＋∠C=180o，
∴x＋2x＋3 x=180， ∴ x=30， ∴∠A=30o，∠B=60o，∠C=90o，
在Rt△ABC中，CM是AB边上的中线，CM=3， ∴AB=2CM=6， 又∠A=30o，
?BC?12AB?12?6?3，?AC?AB2－BC2?62－32?33， ?S?ABC?12AC?BC?12?3?33?932.例3、求证：等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等．
分析: 解文字形式的证明题时，要根据题意画出图形，写出“已知”、“求证”和“证明”；
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，DB＝DC，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．求证：DM＝DN． 自我解答：
AMNBDC
证明一：
∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠BMD＝∠CND＝90o，
又∵BD＝DC，
∴△BDM≌△CDN， ∴DM＝DN． 证明二：
如图，连结AD，
∵AB＝AC，BD＝DC， ∴AD平分∠BAC， 而DM⊥AB，DN⊥AC， ∴DM＝DN．
AMNBDC
证明三：如图，连结AD， ∵D是BC的中点， ∴S?ABD＝S?ACD 又∵DM⊥AB，DN⊥AC， ∴1AB?DM＝122AC?DN
而AB＝AC， ∴DM＝DN．
点评：在等腰三角形中，作底边上的中线或高或顶角的平分线是常用的辅助线． 例4、如图，点B是线段AC上一点，分别以AB、BC为边作等边△ABD、△BCE，连结AE、CD，AE交BD于M，CD交BE于N，连结MN．
求证：（1）AE＝CD； （2）BM＝BN； （3）MN∥AC．
DDE5EMMNA4132NBCABC
自我解答：
分析：
结论（1）、（2）中要证明两条线段相等，通过选择恰当的两个三角形全等达到目的；结论（3）要证明MN与AC的平行位置关系，可以通过找角与角之间的相等关系来实现． 证明：
（1）∵△ABD、△BCE是等边三角形， ∴AB＝BD，BE＝BC，∠1＝∠2＝60o，
∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3，即∠ABE＝∠DBC， ∴△ABE≌△DBC， ∴AE＝DC． （2）∵△ABE≌△DBC ∴∠4＝∠5，
而∠1＝∠2＝60o，∠1＋∠2＋∠3＝180o， ∴∠3＝∠1＝60o， 在△ABM和△DBN中，
AB＝BD，∠4＝∠5，∠3＝∠1， ∴△ABM≌△DBN， ∴BM＝BN． （3）∵BM＝BN，∠3＝60o， ∴△BMN是等边三角形， ∴∠BMN＝∠1＝60o， ∴MN∥BC．
例5.已知如图(1)，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：(1)BD＝DE＋CE；(2)若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD＜CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?请予证明.
(3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时，(BD＞CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?请直接写出结果，不须证明.(4)归纳(1)、(2)、(3)，请用简捷语言表述BD、DE、CE的关系.
自我解答：
证明：(1)∵BD⊥AE，CE⊥AE(已知)， ∴∠BDA＝∠AEC＝90°(垂直定义)
∵∠BAD＋∠CAE＝90°，∠BAD＋∠ABD＝90°， ∴∠CAE＝∠ABD(同角的余角相等) ?在△ABD??ABD??CAE(已证)和△CAE
中??ADB??CEA?90?(已证) ??AB?AC(已知)∴△ABD≌△CAE(AAS)
∴BD＝AE，AD＝CE(全等三角形的对应边相等) ∵AE＝AD＋DE ∴AE＝CE＋DE， ∴BD＝CE＋DE
(2)BD＝DE－CE，证明方法与(1)相同 (3)BD＝DE－CE
(4)归纳(1)，(2)，(3)可知：结论表述为：
当B、C在AE异侧时，BD＝DE＋CE；当B、C在AE同侧时，BD＝DE－CE； 点评：本题考查动态几何中的量的关系，其关键是猜想规律.再运用几何知识予以证明.
例6、如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求证：AB＝AC+DC．
A12A12B3D4CBDCE
分析：
要证明AB是两线段AC、CD之和，只要把AC、CD放在同一条直线上，使其拼成为一条线段；即延长AC至E，使AE＝AB，再证明延长部分等于CD．（或延长AC至E，使CE＝CD，再证明AE＝AB） 自我解答：
证明一：
如图，延长AC到E，使AE＝AB，连结DE， ∵AB＝AE，∠1＝∠2，AD＝AD， ∴△ABD≌△AED， ∴∠B＝∠E，
又∵∠ACB＝∠3＝2∠B， ∴∠3＝2∠E， 而∠3＝∠E＋∠4， ∴2∠E＝∠E＋∠4， ∴∠E＝∠4， ∴DC＝CE，
∴AB＝AE＝AC＋CE， ∴AB＝AC＋DC．
证明二.
A12F3B4DC
证明：
如图，在AB上截取AF＝AC，连结DF， 在△ADF和△ADC中，
AF＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，
∴△ADF≌△ADC， ∴DF＝DC，∠3＝∠C， 又∵∠C＝2∠B， ∴∠3＝2∠B， 而∠3＝∠B＋∠4， ∴∠B＋∠4＝2∠B，
∴∠4＝∠B， ∴BF＝DF， ∴BF＝DC，
∴AF＋BF＝AC＋DC，即AB＝AC＋DC． 点评：
证明一条线段等于两条线段的和的常用方法是：
（1）延长一条短线段等于长线段，再证明延长部分与另一条短线段相等，或延长短线段，使延长的部分与另一条短线段相等，再证明延长后的线段与长线段相等；（2）在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下部分等于另一条短线段．这种方法叫做截长或者补短法．在证明线段间的和（或差）关系时常用到．
例 7. 如图所示，南北向的直线MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海．上午9点50分，我缉私艇A发现正东方有一走私船C以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国缉私艇B密切注意．A和C两艇的距离为13海里，A、B两艇的距离为5海里，缉私艇B测得B、C距离为12海里．若走私船C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？
分析 为降低题目难度，可将综合题化为若干个基本问题来解决．思考： （1）△ABC是什么类型的三角形？
（2）走私船C距我领海最近距离是多少？ （3）走私船C最早在什么时间进入我领海？
将问题分解成几个基本问题，达到了化繁为简的目的． 自我解答：
解 设MN与AC相交于E，则∠BEC =90°． 又?AB2?BC2?52?122?132?AC2，
∴△ABC为直角三角形，∠ABC =90°．
由于MN⊥CE，∴走私船C进入我领海的最近距离CE．设CE?x,BE?y，则