发布时间 : 星期三 文章2020浙江高考数学二轮讲义：专题三第2讲 数学归纳法、数列的通项公式与数列求和 Word版含解析更新完毕开始阅读e6b6b63e487302768e9951e79b89680203d86b25
第2讲 数学归纳法、数列的通项公式与数列求和
数学归纳法 [核心提炼]
用数学归纳法证明与自然数有关的数学命题，证明步骤： (1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时，命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 由(1)(2)，可知命题对于从n0开始的所有正整数都成立．
[典型例题]
(2019·宁波市九校联考)已知n∈N*，Sn＝(n＋1)·(n＋2)…(n＋n)，Tn＝2n×1×3×…
×(2n－1)．
(1)求S1，S2，S3，T1，T2，T3；
(2)猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明． 【解】 (1)S1＝T1＝2，S2＝T2＝12，S3＝T3＝120. (2)猜想：Sn＝Tn(n∈N*)． 证明：①当n＝1时，S1＝T1；
②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，Sk＝Tk， 即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3×…×(2k－1)， 则当n＝k＋1时，
Sk＋1＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋1＋k－1)(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1) ＝(k＋2)(k＋3)…(2k)(2k＋1)(2k＋2)
2k×1×3×…×（2k－1）＝×(2k＋1)(2k＋2)
k＋1＝2k＋1×1×3×…×(2k－1)(2k＋1)＝Tk＋1. 即n＝k＋1时也成立，
由①②可知，n∈N*，Sn＝Tn成立．
利用数学归纳法时应注意以下两点
(1)这两步合为一体才是数学归纳法，缺一不可．其中第一步是基础，第二步是递推的依
据．
(2)用数学归纳法证明与不等式有关的命题，在由n＝k证明n＝k＋1时，要准确利用证明不等式的基本方法：比较法、分析法、综合法、放缩法等．
[对点训练]
(2019·高考浙江卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝4，a4＝S3.数列{bn}满足：对每个n∈N*，Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)记cn＝an
，n∈N*，证明：c1＋c2＋…＋cn<2n，n∈N*. 2bn
解：(1)设数列{an}的公差为d，由题意得 a1＋2d＝4，a1＋3d＝3a1＋3d， 解得a1＝0，d＝2. 从而an＝2n－2，n∈N*. 所以Sn＝n2－n，n∈N*.
由Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列得 (Sn＋1＋bn)2＝(Sn＋bn)(Sn＋2＋bn)． 1
解得bn＝(S2－SnSn＋2)．
dn＋1所以bn＝n2＋n，n∈N*.
an
＝2bn
＝2n（n＋1）2n－2
，n∈N*.
n（n＋1）n－1
(2)证明：cn＝
我们用数学归纳法证明．
①当n＝1时，c1＝0<2，不等式成立； ②假设n＝k(k∈N*)时不等式成立，即 c1＋c2＋…＋ck<2k， 那么，当n＝k＋1时， c1＋c2＋…＋ck＋ck＋1<2k＋
k
<2k＋
（k＋1）（k＋2）
1
<2k＋k＋1
2k＋1＋k
＝
2k＋2(k＋1－k)＝2k＋1，
即当n＝k＋1时不等式也成立．
根据①和②知，不等式c1＋c2＋…＋cn<2n对任意n∈N*成立．
由递推式求数列通项公式
[核心提炼]
利用递推法解题的一般步骤 (1)确定初始值； (2)建立递推关系； (3)利用递推关系求通项．
[典型例题]
(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n－an，则数列{an}的通项公式为
________．
(2)在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，则该数列的通项公式an＝________． (3)设Sn是正项数列{an}的前n项和，且an和Sn满足：4Sn＝(an＋1)2(n＝1，2，3，…)，则Sn＝________．
【解析】 (1)由于Sn＝2n－an，所以Sn＋1＝2(n＋1)－an＋1，后式减去前式，得Sn＋1－Sn
11
＝2－an＋1＋an，即an＋1＝an＋1，变形为an＋1－2＝(an－2)，则数列{an－2}是以a1－2为首
221?n－11?n－11??项，为公比的等比数列．又a1＝2－a1，a1＝1，则an－2＝(－1)·?2?，所以an＝2－?2?. 2
(2)法一：(递推法)
an＝2an－1＋3＝2(2an－2＋3)＋3＝22·an－2＋2×3＋3 ＝23an－3＋22×3＋2×3＋3＝… ＝2n－1·a1＋2n－2·3＋2n－3·3＋…＋3 ＝2n－1＋3(2n－2＋2n－3＋…＋1)＝2n＋1－3. 法二：(构造法) 设an＋a＝2(an－1＋a)， 即an＝2an－1＋a，所以a＝3. 所以an＋3＝2(an－1＋3)，
所以{an＋3}是公比为2的等比数列．
所以an＋3＝(a1＋3)·2n－1. 又a1＝1，所以an＝2n＋1－3.
an1?(3)由题知Sn＝??2＋2?，当n＝1时，易得a1＝1. an1?2?an－11?2
?an＝Sn－Sn－1＝?2＋2?－??
?2＋2?an－1??anan－1??＝?an＋? ＋1?·?－
22??2??2
2
an－1??a2?n－an－1?
＝??＋?an－?，
2??4??2
2
an＋an－1a2n－an－1
整理得＝?an－an－1＝2.
24
2
所以an＝2n－1.所以Sn＝n2. 1?
【答案】 (1)an＝2－??2?(2)2n1－3 (3)n2
由递推式求数列通项公式的常见类型
(1)形如an＋1＝an＋f(n)的数列，求解此类数列的通项公式一般先通过变形为an＋1－an＝f(n)，再利用累加法an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1，代入相应的关系式，再加以合理的分析与求解．同理，形如an＋1＝f(n)an型数列可转化为用累乘法求解．
(2)形如an＋1＝can＋d(c≠0，1)的数列，求解此类线性关系的数列的通项公式一般可用待定系数法，通过化归、转化为新的等比数列an＋1＋λ＝c(an＋λ)，求出λ后，结合新等比数列的公式或性质来求解与转化．
(3)由an与Sn的递推关系求数列通项公式的步骤 第一步：令n＝1，由Sn＝f(an)求出a1；
第二步：令n≥2，构造an＝Sn－Sn－1，用an代换Sn－Sn－1(或用Sn－Sn－1代换an，这要结合题目的特点)，由递推关系求通项公式；
第三步：验证当n＝1时的结论是否适合当n≥2时的结论．
＋
n－1