发布时间 : 星期三 文章题型专项(八)二次函数与几何图形综合题 类型7 探究特殊三角形的存在性问题试题更新完毕开始阅读e6d5583ba517866fb84ae45c3b3567ec112ddc17
拓展类型7 探究特殊三角形的存在性问题
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1．(2016·河池)在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x－2x＋3与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D.
(1)请直接写出点A，C，D的坐标；
(2)如图1，在x轴上有一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；
(3)如图2，F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)当x＝0时，y＝3，∴C(0，3)．
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当y＝0时，－x－2x＋3＝0，∴x1＝1，x2＝－3，又A在B的左边，∴A(－3，0)，B(1，0)．
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∵y＝－x－2x＋3.
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∴y＝－(x＋1)＋4. ∴D(－1，4)．
(2)如图，作C(0，3)关于x轴的对称点C′(0，－3)，连接DC′与x轴的交点即为所求点E，此时△DCE周长最小．
设DC′的解析式为y＝kx＋b.
???－k＋b＝4，?k＝－7，
?将D(－1，4)，C′(0，－3)代入y＝kx＋b中，得解得?∴y＝－7x－3. ?b＝－3，?b＝－3.??
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令y＝0，则－7x－3＝0.∴x＝－.∴E(－，0)．
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(3)∵A(－3.0)，C(0，3)，
∴∠CAB＝45°.
①以A为等腰直角三角形的顶点，则过A作AP⊥AC交抛物线于点P，过P作PF⊥x轴交直线AC于点F，则△APF为等腰直角三角形，可求得P(2，－5)． ②若以F为直角顶点，则∠FAP＝45°.
又∠FAO＝45°，∴P在抛物线与x轴交点处． ∴P可取(1，0)．
③若以P为直角顶点，则∠FAP＝45°.
又∵∠FAO＝45°，∴P在抛物线与x轴交点处． ∴P可取(1，0)．
∴P(1，0)或(2，－5)．
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2．(2016·漳州)如图，抛物线y＝x＋bx＋c与x轴交于点A和点B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；
(3)在(2)的条件下，当MN取最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)点B(3，0)，C(0，3)在抛物线y＝x＋bx＋c上，
??9＋3b＋c＝0，??b＝－4，?∴∴? ?c＝3.?c＝3.??
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∴抛物线的解析式为y＝x－4x＋3.
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(2)令x－4x＋3＝0，则x1＝1，x2＝3.∴A(1，0)． 设直线BC的解析式为y＝kx＋b.
∵点B(3，0)，C(0，3)在直线BC上，
??3k＋b＝0，??k＝－1，?∴∴? ?b＝3.?b＝3.??
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∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.
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设N(x，－x＋3)，则M(x，x－4x＋3)(1 2 ＝(－x＋3)－(x－4x＋3) 2 ＝－x＋3x 329 ＝－(x－)＋. 24 39 ∴当x＝时，MN的最大值为. 24(3)存在，所有点P的坐标分别是： 3＋173－1714141 P1(2，)，P2(2，)，P3(2，)，P4(2，－)，P5(2，)． 22222