发布时间 : 星期六 文章(全国通用)2020版高考数学二轮复习专题提分教程仿真模拟卷四理更新完毕开始阅读e720c64aa1116c175f0e7cd184254b35effd1a90
答案 32
解析 由sin∠ABC3∠ABC6
2＝3，可得cos2＝3，则sin∠ABC＝2sin∠ABC∠ABC22
2cos2＝3. 由sin∠ABC2＝33<2∠ABC2可知，0°<2<45°，
则0°<∠ABC<90°，
由同角三角函数基本关系可知，cos∠ABC＝1
3. 设AB＝x，BC＝y，AC＝3z(x>0，y>0，z>0)， 在△ABD中，由余弦定理可得， 16＋?2z?2－x2
cos∠BDA＝3
2×43，
3×2z在△CBD中，由余弦定理可得，
16＋z2－2
cos∠BDC＝
3
y2×43，
3
×z由∠BDA＋∠BDC＝180°， 故cos∠BDA＝－cos∠BDC，
- 9 -
16162222
＋?2z?－x＋z－y33即＝－，
43432××2z2××z33整理可得16＋6z－x－2y＝0. ① 在△ABC中，由余弦定理可知，
2
2
2
x2＋y2－2xy×＝(3z)2，
222242
则6z＝x＋y－xy，
339
12424
代入①式整理计算可得，x＋y＋xy＝16，
339由基本不等式可得， 16≥2
1242416
x×y＋xy＝xy， 3399
1
3
32
故xy≤9，当且仅当x＝32，y＝时等号成立，
2
1122
据此可知，△ABC面积的最大值为Smax＝(AB·BC)max·sin∠ABC＝×9×＝32.
223三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1*
17．(本小题满分12分)已知数列{an}满足：an≠1，an＋1＝2－(n∈N)，数列{bn}中，bnan＝
1
，且b1，b2，b4成等比数列． an－1
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
?1?
(2)若Sn是数列{bn}的前n项和，求数列??的前n项和Tn.
?Sn?
解 (1)证明：bn＋1－bn＝
1111an1
－＝－＝－＝1，
an＋1－1an－11an－1an－1an－1
2－－1
an∴数列{bn}是公差为1的等差数列．
(2)由题意可得b2＝b1b4，即(b1＋1)＝b1(b1＋3)，∴b1＝1，∴bn＝n， ∴Sn＝
2
2
n?n＋1?
21
1，∴＝Sn1?2?1
＝2?－?，
n?n＋1??nn＋1?
1
1
??
Tn＝2×?1－＋－＋…＋－
nn＋1??223?
＝2×?1－
11
?
?
1?2n＝. n＋1??n＋1
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18．(本小题满分12分)《中国诗词大会》是央视推出的一档以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼．“百人团”由一百多位来自全国各地的选手组成，成员上至古稀老人，下至垂髫小儿，人数按照年龄分组统计如下表：
分组(年龄) 频数(人)
(1)用分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战，求从这三个不同年龄组中分别抽取的挑战者的人数；
(2)在(1)中抽出的6人中，任选2人参加一对一的对抗比赛，求这2人来自同一年龄组的概率．
61
解 (1)∵样本容量与总体个数的比是＝，
10818∴样本中包含3个年龄段的个体数，分别是： 1
年龄在[7,20)的人数为×18＝1，
181
年龄在[20,40)的人数为×54＝3，
181
年龄在[40,80]的人数为×36＝2，
18
∴从这三个不同年龄组[7,20)，[20,40)，[40,80]中分别抽取的挑战者的人数为1,3,2. (2)用分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战，这三个不同年龄组[7,20)，[20,40)，[40,80]中分别抽取的挑战者的人数为1,3,2.
从抽出的6人中，任选2人参加一对一的对抗比赛，基本事件总数为n＝C6＝15， 这2人来自同一年龄组包含的基本事件个数为m＝C3＋C2＝4，
2
2
2
[7,20) 18 [20,40) 54 [40,80] 36 m4
∴这2人来自同一年龄组的概率P＝＝. n15
19．(本小题满分12分)如图，在各棱长均为2的正三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为棱
A1B1与BB1的中点，M，N为线段C1D上的动点，其中，M更靠近D，且MN＝C1N.
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(1)证明：A1E⊥平面AC1D；
(2)若NE与平面BCC1B1所成角的正弦值为
10
，求异面直线BM与NE所成角的余弦值． 20
解 (1)证明：由已知得△A1B1C1为正三角形，D为棱A1B1的中点， ∴C1D⊥A1B1，
在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，C1D?底面A1B1C1，则AA1⊥C1D. 又A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1?平面ABB1A1， ∴C1D⊥平面ABB1A1，又A1E?平面ABB1A1， ∴C1D⊥A1E.
易证A1E⊥AD，又AD∩C1D＝D，AD，C1D?平面AC1D， ∴A1E⊥平面AC1D.
(2)取BC的中点O，B1C1的中点O1，连接AO，则AO⊥BC，OO1⊥BC，OO1⊥AO，
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