发布时间 : 星期六 文章小初高学习2018年高考数学 专题11 空间中的平行与垂直教学案 理更新完毕开始阅读e72eac5a8ad63186bceb19e8b8f67c1cfbd6eeda
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又因为EF?平面ABC， AB?平面ABC，所以EF∥平面ABC.
【变式探究】【2016高考江苏卷】(本小题满分14分)
AC如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D?A1F ，11?A1B1.
求证：（1）直线DE∥平面A1C1F； （2）平面B1DE⊥平面A1C1F.
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
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【解析】证明：（1）在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC//AC11 在三角形ABC中，因为D,E分别为AB,BC的中点. 所以DE//AC，于是DE//AC11
又因为DE?平面AC11F,AC11?平面AC11F 所以直线DE//平面AC11F
（2）在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1?平面A1B1C1 因为AC11?平面A1B1C1，所以AA1?A1C1
又因为AC11?A1B1，AA1?平面ABB1A1,A1B1?平面ABB1A1,A1B1所以AC11?平面ABB1A1
因为B1D?平面ABB1A1，所以AC11?B1D
又因为B1D?A1F，AC11?平面A1C1F,A1F?平面A1C1F,AC11所以B1D?平面A1C1F
因为直线B1D?平面B1DE，所以平面B1DE?平面AC11F.
【举一反三】(2015·安徽，5)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( ) A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
AA1?A1
A1F?A1
2π
【变式探究】如图，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AB＝AA′＝AC＝2，∠BAC＝，点D，E分别是BC，
3
A′B′的中点．
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(1)求证：DE∥平面ACC′A′； (2)求二面角B′－AD－C′的余弦值．
【解析】(1)证明：取AC的中点F，连接DF，A′F， 则DF∥AB，又A′E∥AB， 所以DF∥A′E，
11
又因为DF＝AB，A′E＝AB，
22
所以DF＝AE，所以四边形DFA′E是平行四边形， 所以ED∥A′F，又A′F?平面ACC′A′， 所以ED∥平面ACC′A′.
(2)在平面ABC中，以过点A且垂直于AC的直线为x轴，直线AC为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系A－xyz.
所以点A(0,0,0)，B(3，－1,0)，C(0,2,0)，B′(3，－1,2)，C′(0,2,2)，D?→→31??
所以AD＝?，，0?，AB′＝(3，－1,2)，AC′＝(0,2,2)．
?22?设平面B′AD的法向量为m＝(x，y，z)，
→
?31?
，，0?. ?22?
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→
→
则由m·AD＝0和m·AB′＝0，得
?31
?x＋y＝0，
2?2
??3x－y＋2z＝0，
取m＝(1，－3，－3)．
同理，可取平面C′AD的法向量n＝(1，－3，3)．
π|m·n|1设二面角B′－AD－C′的平面角为θ，易知0<θ<，则cos θ＝＝.
2|m||n|7【变式探究】设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题： ①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；
③若l上有两点到α的距离相等，则l∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β. 其中正确命题的序号是________．
【解析】由线线、线面、面面平行与垂直的判定与性质定理逐个判断，真命题为②④. 【答案】②④
【规律方法】这类题为高考常考题型，其实质为多项选择．主要考查空间中线面之间的位置关系，要求熟悉有关公理、定理及推论，并具备较好的空间想象能力，做到不漏选、多选、错选．
【变式探究】(2015·浙江，13)如图，三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．
题型三 线线、线面、面面平行与垂直的证明
【例3】(2017·山东卷)由四棱柱ABCD－A1B1C1D1截去三棱锥C1－B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.
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