发布时间 : 星期五 文章高考数学一轮复习 不等式【导学案】学案34更新完毕开始阅读e76199279fc3d5bbfd0a79563c1ec5da51e2d614
B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件
D．既不充分又不必要条件 3．(2011·银川模拟)已知集合M＝{x|x2－2 008x－2 009>0}，N＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若M∪N＝R，M∩N＝(2 009，2 010]，则( )
A．a＝2 009，b＝－2 010 B．a＝－2 009，b＝2 010 C．a＝2 009，b＝2 010 D．a＝－2 009，b＝－2 010 4．若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是( ) A．m>1 B．m<－1
1313
C．m<－ D．m>1或m<－
1111
5．(创新题)已知a1>a2>a3>0，则使得(1－aix)2<1 (i＝1,2,3)都成立的x的取值范围是( )
1?0，2? 0，? A.? B.?a1??a1?1?0，2? 0，? C.? D.?a3??a3?二、填空题(每小题4分，共12分)
6．在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)，若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意实数x恒成立，则a的取值范围为________．
?log2x， x>0，?
7．已知函数f(x)＝?2则满足f(x)>1的x的取值范围为______________．
?x， x≤0，?
8．(2011·泉州月考)
已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如右图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)>1的解集为__________________．
三、解答题(共38分)
x－a
9．(12分)解关于x的不等式<0 (a∈R)．
x－a2
1??
10．(12分)若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是?x|－3≤x≤2?，求不等式cx2＋bx＋a<0的
??
解集．
11．(14分)(2011·烟台月考)已知函数f(x)＝x2＋ax＋3. (1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围； (2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
学案34 一元二次不等式及其解法
自主梳理
bb
1．2 2.－ － R ? ?
2a2a
自我检测
1．C 2.A 3.A 4.D 5．(－∞，－5]
解析 记f(x)＝x2＋mx＋4，根据题意得 Δ＝m－16>0，??
?f?1?≤0，??f?2?≤0，
2
解得m≤－5.
课堂活动区
例1 解题导引 解一元二次不等式的一般步骤
(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx＋c>0(a>0)，ax2＋bx＋c<0(a>0)．
(2)计算相应的判别式．
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根． (4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集． 解 (1)两边都乘以－3，得3x2－6x＋2<0， 因为3>0，且方程3x2－6x＋2＝0的解是 x1＝1－
33
，x2＝1＋， 33
33
所以原不等式的解集是{x|1－(2)∵不等式9x2－6x＋1≥0， 其相应方程9x2－6x＋1＝0， Δ＝(－6)2－4×9＝0， 1 ∴上述方程有两相等实根x＝， 3 结合二次函数y＝9x2－6x＋1的图象知，原不等式的解集为R. 变式迁移1 解 (1)∵不等式2x2＋4x＋3<0可转化为 2(x＋1)2＋1<0，而2(x＋1)2＋1>0， ∴2x2＋4x＋3<0的解集为?. (2)两边都乘以－1，得3x2＋2x－8≥0， 因为3>0，且方程3x2＋2x－8＝0的解是 4 x1＝－2，x2＝， 3 4 所以原不等式的解集是(－∞，－2]∪[，＋∞)． 3(3)原不等式可转化为16x2－8x＋1≤0， 即(4x－1)2≤0， 1 ∴原不等式的解集为{}． 4 例2 解题导引 (1)含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏． (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式． (3)其次对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． 解 上述不等式不一定为一元二次不等式，当a＝0时为一元一次不等式，当a≠0时为一元二次不等式，故应对a进行讨论，然后分情况求解． (1)a＝0时，解为x>0. (2)a>0时，Δ＝4－4a2. ①当Δ>0，即0 1±1－a2 方程ax2－2x＋a＝0的两根为， a1－∴不等式的解集为{x| 1－a21＋1－a2 ②当Δ＝0，即a＝1时，x∈?； ③当Δ<0，即a>1时，x∈?. (3)当a<0时， ①Δ>0，即－1 1＋1－a21－1－a2 或x>}． aa ②Δ＝0，即a＝－1时，不等式化为(x＋1)2>0， ∴解为x∈R且x≠－1. ③Δ<0，即a<－1时，x∈R. 综上所述，当a≥1时，原不等式的解集为?； 当0 {x| 1－a21＋1－a2 当a＝0时，解集为{x|x>0}； 当－1 1＋ 1－a21－1－a2 或x>}； aa 当a＝－1时，解集为{x|x∈R且x≠－1}； 当a<－1时，解集为{x|x∈R}． 变式迁移2 解 ①当a＝0时，解得x>1. 1 ②当a>0时，原不等式变形为(x－)(x－1)<0， a 1 ∴a>1时，解得 aa＝1时，解得x∈?； 1 0 a 1 ③当a<0时，原不等式变形为(x－)(x－1)>0， a 11 ∵<1，∴解不等式可得x<或x>1. aa 1 综上所述，当a<0时，不等式解集为(－∞，)∪(1，＋∞)； a当a＝0时，不等式解集为(1，＋∞)； 1 当0 a当a＝1时，不等式解集为?； 1 当a>1时，不等式解集为(，1)． a 例3 解题导引 注意等价转化思想的运用，二次不等式在区间上恒成立的问题可转化为二次函数区间最值问题． 解 方法一 f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a. ①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a， 即2a＋3≥a，解得－3≤a<－1； ②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2， 由2－a2≥a，解得－1≤a≤1. 综上所述，所求a的取值范围为－3≤a≤1. 方法二 令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知， 得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立， Δ>0， ?? 即Δ＝4a－4(2－a)≤0或?a<－1， ??g?－1?≥0. 2 解得－3≤a≤1. 变式迁移3 解 (1)∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，