发布时间 : 星期二 文章大物(2)期末复习更新完毕开始阅读e78fe9d4fe4733687f21aa2e
练习一 静电场中的导体
三、计算题
1. 已知某静电场在xy平面内的电势函数为U=Cx/(x2+y2)3/2,其中C为常数.求(1)x轴上任意一点,(2)y轴上任意一点电场强度的大小和方向.
解：. Ex=??U/?x
=?C[1/(x2+y2)3/2+x(?3/2)2x/(x2+y2)5/2]
= (2x2?y2)C /(x2+y2)5/2
Ey=??U/?y
=?Cx(?3/2)2y/(x2+y2)5/2=3Cxy/(x2+y2)5/2
x轴上点(y=0) Ex=2Cx2/x5=2C/x3 Ey=0
E=2Ci/x3 y轴上点(x=0) Ex=?Cy2/y5=?C/y3 Ey=0
E=?Ci/y3
2．如图5.6,一导体球壳A(内外半径分别为R2,R3),同心地罩在一接地导体球B(半径为R1)上,今给A球带负电?Q, 求B球所带电荷QB及的A球的电势UA.
静电场中的导体答案
解： 2. B球接地,有 UB=U?=0, UA=UBA
UA=(?Q+QB)/(4??0R3) UBA=[QB/(4??0)](1/R2?1/R1)
得 QB=QR1R2/( R1R2+ R2R3? R1R3)
UA=[Q/(4??0R3)][?1+R1R2/(R1R2+R2R3?R1R3)]
=?Q(R2?R1)/[4??0(R1R2+R2R3?R1R3)]
图5.6
?Q
练习二 静电场中的电介质
三、计算题
1. 如图6.6所示,面积均为S=0.1m2的两金属平板A,B平行对称放置,间距为d=1mm,今给A, B两板分别带电 Q1=3.54×10C, Q2=1.77×109C.忽略边缘效应,
－
－9
A Q1 B Q2
求：(1) 两板共四个表面的面电荷密度 ?1, ?2, ?3, ?4;
(2) 两板间的电势差V=UA－UB.
解：1. 在A板体内取一点A, B板体内取一点B,它们的电场强度是四
?1 ?2 ?3 ?4
图6.6
1
个表面的电荷产生的,应为零,有
EA=?1/(2?0)??2/(2?0)??3/(2?0)??4/(2?0)=0
EA=?1/(2?0)+?2/(2?0)+?3/(2?0)??4/(2?0)=0
而 S(?1+?2)=Q1 S(?3+?4)=Q2 有 ?1??2??3??4=0
?1+?2+?3??4=0 ?1+?2=Q1/S ?3+?4=Q2/S
解得 ?1=?4=(Q1+Q2)/(2S)=2.66?10?8C/m2
?2=??3=(Q1?Q2)/(2S)=0.89?10?8C/m2 两板间的场强 E=?2/?0=(Q1?Q2)/(2?0S)
V=UA－UB??BAE?dl
=Ed=(Q1?Q2)d/(2?0S)=1000V
四、证明题
1. 如图6.7所示，置于静电场中的一个导体，在静电平衡后，导体表面出现正、负感应电荷.试用静电场的环路定理证明，图中从导体上的正感应电荷出发，终止于同一导体上的负感应电荷的电场线不能存在.
解：1. 设在同一导体上有从正感应电荷出发，终止于负感应电荷的电场线.沿电场线ACB作环路ACBA,导体内直线BA的场强为零,ACB的电场与环路同向于是有
? ? 导体 ? ? ? ? ? ? ? ? 图6.7 ? ? ?E?dl=?E?dl?0
与静电场的环路定理?E?dl?0相违背,故在
l?E?dl??ACBE?dl?AB2ACBl同一导体上不存在从正感应电荷出发，终止于负感应电荷的电场线.
B ? ? ? ? A ? ? ? ? C 练习三 电容 静电场的能量
三、计算题
1. 半径为R1的导体球带电Q ,球外一层半径为R2相对电容率为?r的同心均匀介质球壳,其余全部空间为空气.如图7.1所示.求:(1)离球心距离为r1(r1
2
图 7.1
R2 金属球同心的球形高斯面,有
?D?dS??qS0i
4?r2D=?q0i
当r=5cm ??rE?dl ??E1dr??rRR?dRE2dr???R?dE3dr =Q/(4??0?rR)?Q/[4??0?r(R+d)]+Q/[4??0(R+d)] =540V 当r=15cm U2= ???rE?dl??R?drE2dr???R?dE3dr =Q/(4??0?rr)?Q/[4??0?r(R+d)]+Q/[4??0(R+d)] =480V 当r=25cm U3= ?rE?dl??E3dr=Q/(4??0r)=360V r?(3)在介质的内外表面存在极化电荷, Pe=?0?E=?0(?r?1)E ??= Pe·n r=R处, 介质表面法线指向球心 ??=Pe·n =Pecos?=??0(?r?1)E q?=??S=??0(?r?1) [Q/(4??0?rR2)]4?R2 =?(?r?1)Q/?r=?0.8×10?8C r=R+d处, 介质表面法线向外 ??=Pe·n =Pecos0=?0(?r?1)E q?=??S=?0(?r?1)[Q/(4??0?r(R+d)2]4?(R+d)2 =(?r?1)Q/?r=0.8×10?8C 2.两个相距很远可看作孤立的导体球，半径均为10cm，分别充电至200V和400V，然后用一根细导线连接两球，使之达到等电势. 计算变为等势体的过程中，静电力所作的功. 解;2.球形电容器 C=4??0R Q1=C1V1= 4??0RV1 Q2=C2V2= 4??0RV2 W0=C1V12/2+C2V22/2=2??0R (V12+V22) 两导体相连后 C=C1+C2=8??0R 3 Q=Q1+Q2= C1V1+C2V2=4??0R(V1+V2) W=Q2/(2C)= [4??0R(V1+V2)]2/(16??0R)=??0R(V1+V2)2 静电力作功 A=W0?W =2??0R (V12+V22)???0R(V1+V2)2=??0R(V1?V2)2 =1.11×10?7J 练习六 磁感应强度 毕奥—萨伐尔定律 三、计算题 1. 如图10.7所示, 一宽为2a的无限长导体薄片, 沿长度方向的电流I在导体薄片上均匀分布. 求中心轴线OO?上方距导体薄片为a的磁感强度. 解：1.取宽为dx的无限长电流元 r dI=Idx/(2a) dB=?0dI/(2?r) =?0Idx/(4?ar) dBx=dBcos?=[?0Idx/(4?ar)](a/r) =?0Idx/(4?r2)= ?0Idx/[4?(x2+a2)] dBy=dBsin?= ?0Ixdx/[4?a(x2+a2)] y dB ? x x P x x ? ? I x dI x 2a z 图10.7 y P O O? I x Bx??dBx??a?a4?x2?a2a?a??0Idx?2 =[?0I/(4?)](1/a)arctan(x/a)=?0I/(8a) x x By??dBy??a?0Ixdx4?ax?aa?a?a?2? =[?0I/(8?a)]ln(x2+a2) =0 2. 如图10.8所示，半径为R的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且以单层线圈覆盖住半个球面. 设线圈的总匝数为N，通过线圈的电流为I. 求球心O的磁感强度. 解：2. 取宽为dL细圆环电流, dI=IdN=I[N/(?R/2)]Rd? =(2IN/?)d? dB=?0dIr2/[2(r2+x2)3/2] r=Rsin? x=Rcos? dB=?0NIsin2? d? /(?R) dI 图10.8 ? R O ?0NIsin2?d?B??dB?? ?2?R?? dx 4