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=?0NI/(4R)
练习七 毕奥—萨伐尔定律(续) 磁场的高斯定理
三、计算题
1.在无限长直载流导线的右侧有面积为S1和S2的两个矩形回路, 回路旋转方向如图11.6所示, 两个回路与长直载流导线在同一平面内, 且矩形回路的一边与长直载流导线平行. 求通过两矩形回路的磁通量及通过S1回路的磁通量与通过S2回路的磁通量之比. 解： 1.取窄条面元dS=bdr, 面元上磁场的大小为
B=?0I/(2?r), 面元法线与磁场方向相反.有
2aS1 a a S2 2a b 图11.6
?1=?2=
?0I?0bIbdrcos???ln2 ?2?r2?a4a?0I?0bIbdrcos???ln2 ?2?r2?2a
2. 半径为R的薄圆盘均匀带电，总电量为Q . 令此盘绕通过盘心且垂直盘面的轴线作匀
?1/?2=1
速转动，角速度为?，求轴线上距盘心x处的磁感强度的大小和旋转圆盘的磁矩.
解;2. 在圆盘上取细圆环电荷元dQ=?2?rdr, [?=Q/(?R2) ],等效电流元为
dI=dQ/T=?2?rdr/(2?/?)=??rdr
(1)求磁场, 电流元在中心轴线上激发磁场的方向沿轴线,且与?同向,大小为 dB=?0dIr2/[2(x2+r2)3/2]=?0??r3dr/[2(x2+r2)3/2]
RB??02r2?x2R??0??r3dr?
?0??4??r0x2dr2?x22??3/2??0??4R?x22?32?
x2??r0r2dr2?x22??x2?32?=????rR024?0?x2dr2?x2?r??2?x2?32?
r?x??02r2?x2???0Q??R2?2x2??2x?=2?? 222?R?R?x?=
(2)求磁距. 电流元的磁矩
dPm=dIS=??rdr?r2=???r2dr
?0????2RR0?? ??5
Pm?????r3dr=???R4/4=?QR2/4
0R练习八 安培环路定律
三、计算题
1. 如图12.5所示，一根半径为R的无限长载流直导体，其中电流I沿轴向流过，并均匀分布在横截面上. 现在导体上有一半径为R?的圆柱形空腔，其轴与直导体的轴平行，两轴相距为 d . 试求空腔中任意一点的磁感强度.
解：1. 此电流可认为是由半径为R的无限长圆柱电流I1和一个同电流密度的反方向的半径为R?的无限长圆柱电流I2组成. I1=J?R2 I2=?J?R ?2 J=I/[? (R2?R ?2)] 它们在空腔内产生的磁感强度分别为 B1=?0r1J/2 B2=?0r2J/2 方向如图.有
Bx=B2sin?2?B1sin?1=(?0J/2)(r2sin?2?r1sin?1)=0 By =B2cos?2＋B1cos?1
=(?0J/2)(r2cos?2＋r1cos?1)=(?0J/2)d 所以 B = By= ?0dI/[2?(R2－R ?2)] 方向沿y轴正向
2. 设有两无限大平行载流平面,它们的电流密度均为j,电流流向相反. 求： (1) 载流平面之间的磁感强度； (2) 两面之外空间的磁感强度.
解;2. 两无限产生的磁场在平面①的
① ? ? ? ? ? ? ? I1 ② ? ? ? ? ? ? ? I2
大平行载流平面的截面如图.平面电流在空间为 B1=?0J/2
上方向右,在平面①的下方向左;
R O ? d 图12.5
2R? ?O ? BI O r??y BrR ?d ?ORx 电流②在空间产生的磁场为 B2=?0J/2 在平面②的上方向左,在平面②的下方向右.
(1) 两无限大电流流在平面之间产生的磁感强度方向都向左,故有 B=B1+B2=?0J (2) 两无限大电流流在平面之外产生的磁感强度方向相反,故有 B=B1?B2=0
练习九 安培力
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三、计算题
1. 一边长a =10cm的正方形铜导线线圈(铜导线横截面积S=2.00mm2, 铜的密度
?=8.90g/cm3), 放在均匀外磁场中. B竖直向上, 且B = 9.40?10?3T, 线圈中电流为I =10A . 线圈
在重力场中 求:
(1) 今使线圈平面保持竖直, 则线圈所受的磁力矩为多少.
(2) 假若线圈能以某一条水平边为轴自由摆动,当线圈平衡时,线圈平面与竖直面夹角为多少.
解：1. (1) Pm=IS=Ia2 方向垂直线圈平面.
B 线圈平面保持竖直,即Pm与B垂直.有 n Mm=Pm×B ?Mm=PmBsin(?/2)=Ia2B
=9.4×10－
4m?N
mgmg(2) 平衡即磁力矩与重力矩等值反向 mg?/M 2??m=PmBsin(?/2－?)=Ia2Bcos? MG= MG1 + MG2 + MG3
= mg(a/2)sin?+ mgasin?+ mg(a/2)sin? =2(?Sa)gasin?=2?Sa2gsin? Ia2Bcos?=2?Sa2gsin? tan?=IB/(2?Sg)=0.2694
?=15?
2. 如图13.5所示，半径为R的半圆线圈ACD通有电流I2, 置于电流为I1的无限长直线电流的磁场中, 直线电流I1 恰过半圆的直径, 两导线相互绝缘. 求半圆线圈受到长直线电流I1的磁力. y解：2.在圆环上取微元 dF R I2dl= I2Rd? ? x 该处磁场为
B=?0I1/(2?Rcos?)
I1 I2 I2dl与B垂直,有dF= I2dlBsin(?/2) dF=?0I1I2d?/(2?cos?) dFx=dFcos?=?0I1I2d? /(2?) dFy=dFsin?=?0I1I2sin?d? /(2?cos?)
?2F2d?x?????0I1I22?=?0I1I2/2
因对称Fy=0.故 F=?0I1I2/2 方向向右.
I1 I2 图13.5
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练习十 洛仑兹力
三、计算题
1. 如图14.6所示，有一无限大平面导体薄板，自下而上均匀通有电流，已知其面电流密度为i(即单位宽度上通有的电流强度)
(1) 试求板外空间任一点磁感强度的大小和方向.
(2) 有一质量为m，带正电量为q的粒子，以速度v沿平板法线方向向外运动. 若不计粒子重力.求：
(A) 带电粒子最初至少在距板什么位置处才不与大平板碰撞. (B) 需经多长时间，才能回到初始位置.. 解：1. (1)求磁场.用安培环路定律得 B=?0i/2
在面电流右边B的方向指向纸面向里,在面电流左边B的方向沿纸面向外. (2) F=qv×B=ma qvB=man=mv2/R
带电粒子不与平板相撞的条件是粒子运行的圆形轨迹不与平板相交,即带电粒子最初位置与平板的距离应大于轨道半径.
R=mv/qB= 2mv/(?0iq)
(3) 经一个周期时间，粒子回到初始位置.即 t=T=2?R/v= 4?m/(?0iq)
2. 一带电为Q质量为m的粒子在均匀磁场中由静止开始下落,磁场的方向(z轴方向)与重力方向(y轴方向)垂直,求粒子下落距离为y时的速率.并讲清求解方法的理论依据.
解：2. 洛伦兹力Qv×B垂直于v,不作功,不改变v的大小；重力作功.依能量守恒有 2
mv/2=mgy，
得 v=(2gy)1/2.
图14.6
i
? v
练习十一 磁场中的介质
三、计算题
1. 一厚度为b的无限大平板中通有一个方向的电流,平板内各点的电导率为?,电场强度为E,方向如图15.6所示,平板的相对磁导率为?r1,平板两侧充满相对磁导率为?r2的各向同性的均匀磁介质,试求板内外任意点的磁感应强度.
解：1. 设场点距中心面为x,因磁场面对称 以中心面为对称面过场点取矩形安培环路，有
?H?dl=ΣI 2?LH=ΣI
l00
(1) 介质内,0 (2) 介质外,?x?>b/2. ΣI0=b?lJ=b?l?E,有 H=b?E/2 B=?0?r2H=?0?r2b?E/2 8 l H × E H