发布时间 : 星期一 文章复变函数与积分变换试题及答案更新完毕开始阅读e7dbbe66b84ae45c3b358cd0
z2?1dz? ]3] 。 2.?|z?1|?1z2?13.
1的幂级数展开式为 [4] ，收敛域为 [5] 。 31?z4. 根据洛朗级数展开式中主要部分的系数取零值的不同情况，将函数的孤立奇点分为三类： [6] 、 [7] 、 [8] 。 5.分式线性映射f(z)?z?i在z?i处的旋转角为 [9] ，伸缩率为 [10] 。 z?i
三、证明题(共20分)
1、设F(w)?of[f(t)]，证明：函数f(t)为实值函数的充要条件为F(w)?F(?w).（14分） 2、若|?|?1,|z|?1，则|??z|?1（6分） 1??z
四、计算题（每题10分，共50分） 1. 计算下列各积分的值：
z（1）?(3e?2z)dz（5分）（2）?z?20izdz（5分） 2(9?z)(z?i)2. 求解析函数f(z)?u?iv，已知u?2(x?1)y,f(0)??i。
t??x?(t)?x(t)?y(t)?e,3. 用拉氏变换求解微分方程组?t??y?(t)?3x(t)?2y(t)?2e,x(0)?y(0)?1。
z74. 求出函数f(z)?在孤立奇点处的留数。
(z?2)(z2?1)5.求一共形映射，使区域D?z:z?1,Imz?0映射为单位圆内部。
??----------------------------------------黄山学院 学年度第 学期
《工程数学》( 本 科)期末试卷 (时间120分钟)
试卷编号:
院(系) 班 姓名 学号 得分
一、判断题（每小题2分，共10分）
装------------------------------21
1. × 2. × 3. √ 4. √ 5. √
二、填空题（每空2分，共20分）
?[1] 22e4i[2] 22(cos?4?isin?4) [3] 2?i [4] 1?z3?z6???(?1)nz3n??
[5] z?1 [6] 可去奇点 [7] 极点 [8] 本性奇点 [9] ?
三、证明题(共20分)
?2 [10]
1 21、证：（1）必要性（1分）：若函数f(t)为实值函数，由F(w)??????f(t)e?iwtdt（1分）有
F(w)????????????f(t)e?iwtdt（1分）??????f(t)e?iwtdt（1分）??????f(t)eiwtdt（1分）
f(t)e?i(?w)tdt（1分）?F(?w（)1分）12?（2）充分性（1分）：若F(w)?F(?w)，由f(t)??????F(w)eiwtdw（1分）有
1??1??jwtf(t)?F(w)edw(1分）?F(?w)e?jwtdw（2分）??2???2???
??1?F(?)ej?td?（1分）?f(t（)1分）?2???即函数f(t)为实值函数。
2、证：
??z??z1??z ?（2分）?（2分）?（12分）1??z????z???z
四、计算题（每题10分，共50分） 1（1）、(2)
?i0iii(3ez?2z)dz?3ezi0?z2（2分）?3e?3?（12分）?3e?（41分） 0z2zz9?zdz?dz（2分）?2?i?z?2(9?z2)(z?i)?z?2z?i9?z2（?（1分） z??i2分）5?
2、解：容易验证u是全平面上的调和函数（1分）。利用C-R条件，先求出v的两个偏导数。
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?v?u?v?u????2(x?1),??2y （2分） ?x?y?y?x2则 v?2ydy?y??(x),??(x)??2(x?1)，
?即?(x)??x2?2x?C
所以 v(x,y)?y2?x2?2x?C（3分） 因而得到一个解析函数
f(z)?2(x?1)y?i(y2?x2?2x?C)（2分）
因为f(0)??i，故C??1（1分），所以f(z)??i(1?z)2（1分）。
3、解：令X(s)?L[x(t)],Y(s)?L[y(t)]，对方程两边取拉氏变换，并应用初始条件得
1?sX(s)?1?X(s)?Y(s)?,??s?1（6分） ?1?sY(s)?1?3X(s)?2Y(s)?2.?s?1?求解得 X(s)?Y(s)?1, （2分） s?1取拉氏逆变换得原方程组的解为 x(t)?y(t)?et. （2分）
z74、解：由于2，i，- i是(z?2)(z?1)的一阶零点，因而它们是f(z)?的一阶极点。（12(z?2)(z?1)2分）
????z7z7z7Res?,2??lim?(z?2)??222z?2(z?2)(z?1)(z?2)(z?1)????z?1z?2?128（3分） 5?2?i（3分） 10?2?i（3分） 10????z7z7z7Res?,i??lim?(z?i)??22z?i(z?2)(z?1)?(z?2)(z?i)?(z?2)(z?1)??z?i????z7z7z7Res?,?i??lim?(z?i)??22z??i(z?2)(z?1)?(z?2)(z?i)?(z?2)(z?1)??
z??i23
5、解：映射z1?(因此所求映射为
z?i1?z2)可将D变为上半平面（4分），w?1将上半平面变为单位圆内部（3分）。1?zz1?iz?12)?i（3分） w?z?1z?12()?iz?1(
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