发布时间 : 星期三 文章（整理）高等数学练习题第十章曲线积分与曲面积分更新完毕开始阅读e821d2362dc58bd63186bceb19e8b8f67d1cef6d
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高等数学练习题 第十章 曲线积分与曲面积分
系 专业 班 姓名 学号 第一节 对弧长的曲线积分
一．选择题
1．设L是连接A(?1,0)，B(0,1)，C(1,0)的折线，则
?L(x?y)ds? [ B ]
（A）0 （B）2 （C）22 （D）2
x2y2??1，并且其周长为S，则?(3x2?4y2?12)ds= [ D ] 2．设L为椭圆
L43 （A）S （B）6S （C）12S （D）24S
二．填空题
1．设平面曲线L为下半圆周y??1?x2，则曲线积分
?L(x2?y2)ds? ?
2．设L是由点O(0,0)经过点A(1,0) 到点B(0,1)的折线，则曲线积分三．计算题 1．
?L(x?y)ds? 1?2 2?L(x2?y2)nds，其中L为圆周x?acost，y?asint（0?t?2?）.
解：原式? 2．
?2?0a2n(x?)2?(y?)2dt?a2n?1?dt?2??a2n?1
02??Lex2?y2ds，其中L为圆周x2?y2?a2，直线y?x及x轴在第一象限内所围成的扇形
的整个边界.
解：设圆周与x轴和直线y?x的交点分别为A和B， 于是原式???OA????ABBO?ex2?y2ds
在直线OA上y?0,ds?dx得
?ex2?y2OAds??a0exdx?ea?1
在圆周AB上令x?acos?,y?asin?,0????4得
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x2?y2?4aa?ea22
?ABeds??0e(x?)?(y?)d?? 在直线BO上y?x,ds?2dx得
2a
?x2?y222xBOeds?2?0edx?ea?1
所以原式?(2?a4?)ea?2 3．
?2Lyds，其中L为摆线的一拱x?a(t?sint)， 解：原式?2a2??0(1?cost)2(x?)2?(y?)2dt
?22a3??50(1?cost)2dt
?256a3 15
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4?
y?a(1?cost)（0?t?2?）.
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高等数学练习题 第十章 曲线积分与曲面积分
系 专业 班 姓名 学号 第二节 对坐标的曲线积分
一．选择题
1．设L以(1,1)，(?1,1)，(?1,?1)，(1,?1)为顶点的正方形周边，为逆时针方向，则
?Lx2dy?y2dx? [ D ]
（A）1 （B）2 （C）4 （D）0 2．设L是抛物线y?x(?1?x?1),x增加的方向为正向，则 （A）0,2?Lxds和?xdy?ydx?[ A ]
L2525 （B）0,0 （C）, （D）,0 38381 62 . 3二．填空题
1．设设L是由原点O沿y?x到点A(1,1)，则曲线积分
2?L(x?y)dy? 2．设L是由点A(1,?1)到B(1,1)的线段，则三．计算题
?L(x2?2xy)dx?(y2?2xy)dy= 1．设L为取正向圆周x?y?a，求曲线积分
222?L(2xy?2y)dx?(x2?4x)dy.
解：将圆周写成参数形式x?acos?,y?asin?,(0???2?)，
于是原式
??2?02?{(2a2cos?sin??2asin?)?(?asin?)?(a2cos2??4acos?)?acos?}d?
32223322 ??{(?2acos?sin??2asin?)?(acos??4acos?)}d?
0??2a2?
2．设L是由原点O沿y?x到点A(1,1)，再由点A沿直线y?x到原点的闭曲线，求
2?Larctanydy?dx x1yarctandy?dx?(2xarctanx?1)dx ?OA?0x 解：I1?精品文档
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?[x2arctanx?x?arctanx?x]10? I2??2?2
yarctandy?dx??AOx?01(arctan1?1)dx?1??4
所以原式?I1?I2? 3．计算
?2?2?1??4??4?1
?L(x?y)dx?(y?x)dy，其中L是：
2（1）抛物线y?x上从点（1，1）到点（4，2）的一段弧；
（2）从点（1，1）到点（4，2）的直线段； （3）先沿直线从点（1，1）到点（1，2），然后再沿直线到点（4，2）的折线. 解：（1）原式? ? ??2121{(y2?y)?2y?(y?y2)}dy
?(2y3?y2?y)dy
34 3 （2）过（1，1），（4，2）的直线方程为x?3y?2,dx?3dy
所以 原式??{3(4y?2)?(2?2y)}dy
12 ??21(10y?4)dy
?11
（3）过（1，1），（1，2）的直线方程为x?1,dx?0,1?y?2
所以 I1??21(y?1)dy?1 2 （3）过（1，2），（4，2）的直线方程为y?2,dy?0,1?x?4
所以 I2??41(x?2)dx?27 2 于是 原式?I1?I2?14
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