发布时间 : 星期三 文章初一数学竞赛系列讲座(7)- 顺德一中实验学校更新完毕开始阅读e8714dfff18583d048645930
初一数学竞赛系列讲座(7)
有关恒等式的证明
一、一、知识要点
恒等式的证明分为一般恒等式的证明和条件恒等式证明，对于一般恒等式的证明，常常通过恒等变形从一边证到另一边，或证两边都等于同一个数或式。在恒等变形过程中，除了要掌握一些基本方法外，还应注意应用一些变形技巧，如：整体处理、“1”的代换等；对于条件恒等式的证明，如何处理好条件等式是关键，要认真分析条件等式的结构特征，以及它和要证明的恒等式之间的关系。 二、二、例题精讲
例1 求证：a1+(1-a1)a2+(1-a1)(1-a2)a3+?+(1-a1)(1-a2)?(1-a n-1)a n
=1-(1-a1)(1-a2)?(1-a n-1)(1-a n)
分析：要证等式成立，只要证明1- a1- (1-a1)a2- (1-a1)(1-a2)a3 -?- (1-a1)(1-a2)?(1-a n-1)a n =(1-a1)(1-a2)?(1-a n-1)(1-a n) 证明：1- a1- (1-a1)a2- (1-a1)(1-a2)a3 -?- (1-a1)(1-a2)?(1-a n-1)a n
=(1-a1)[ 1- a2- (1-a2)a3- (1-a2)(1-a3)a4 -?- (1-a2)(1-a3)?(1-a n-1)a n]
=(1-a1) (1-a2)[ 1- a3- (1-a3)a4- (1-a3)(1-a4)a5 -?- (1-a3)(1-a4)?(1-a n-1)a n]
=(1-a1) (1-a2) (1-a3)[ 1- a4- (1-a4)a5- (1-a4)(1-a5)a6 -?- (1-a4)(1-a5)?(1-a n-1)a n] =??
=(1-a1)(1-a2)?(1-a n-1)(1-a n) ∴ 原等式成立
例2 证明恒等式
ana3a1a2a2a1?????????a2?a1?a2?a3?a2?a3?a1?an?a1?a1?a1?a2?a2?a2?a3?an?an?a1?
(第二十届全俄数学奥林匹克九年级试题) ana1a2????a2?a1?a2?a3?a2?a3?a1?an?a1??1?11??11?1????????????????a??????2a1?a2??a3a2?a3??a1an?a1??1?11??11?1????????????????aa?a??a??a?a?aa?a12?23?n1??1?2?na3a2a1?????a1?a1?a2?a2?a2?a3?an?an?a1? 证明
评注：裂项是恒等变形中常用的一种方法
abc???1ab?a?1bc?b?1ca?c?1例3 若abc=1，求证
分析：所要求证的等式的左边是三个分母差异很大的式子，因而变形比较困难。可以充分利用abc=1，将
aacca?它们化成同分母。在ab?a?1的分子、分母上同乘c，化成abc?ac?cca?c?1，将bbc?b?1的分母中的“1”换成abc得
b1? bc?b?abcc?1?ca，然后再相加即可得证。
证明：∵abc=1
abc??∴ab?a?1bc?b?1ca?c?1 acbc? =abc?ac?c+bc?b?abcca?c?1 ca1c? =ca?c?1+c?1?caca?c?1 ca?1?c =ca?c?1=1
于是命题得证。 评注：“1”的代换是恒等变形中常用的技巧。
例4 已知bc=ad，求证：ab(c2-d2)=(a2-b2)cd
ac?bd，然后利用比例的性质来解题。 分析：将bc=ad化成比例式
aca?bc?da?bc?dcc?， ??，?，?bdbddd 证明：∵bc=ad ∴bd 将此三式左、右两边分别相乘得
bddb
2222
∴ab(c-d)=(a-b)cd
评注：条件恒等式的证明常从已知条件出发推出结论。
?a?b??a?b?c??c?d??c?d?a22abc???1例5 已知x=by+cz，y=cz+ax，z=ax+by，且x+y+z≠0.证明：1?a1?b1?c
分析：所证明的式子中不含x、y、z，因而可以将已知条件中的三个等式中的x、y、z看成常数，把三个
式子联合起来组成一个关于a、b、c的方程，然后求出a、b、c。 再代入等式的左边证明。
(1)?x?by?cz ??y?cz?ax (2)?z?ax?by (3)证明：解方程组?
a?y?z?xx?y?z 则1?a?2x2x
(2)+(3)-(1) 得y+z-x=2ax，所以
ay?z?x? 所以 1?ax?y?z
bx?z?ycx?y?z?? 同理可得，1?bx?y?z，1?cx?y?z abcx?y?z????1 所以 1?a1?b1?cx?y?z
评注：将含有字母的等式视为方程，是方程思想的应用。
xyz???1例6 数x、y、z满足关系式y?zz?xx?y
x2y2z2???0证明：y?zz?xx?y (第十六届全俄数学奥林匹克十年级试题)
证明：将已知等式分别乘以x、y、z得
x2xyxz???xy?zz?xx?y ①
xyy2yz???yy?zz?xx?y ② xzyzz2???zy?zz?xx?y ③
①+②+③ 得
x2y2z2xyxzxyyzxzyz???(?)?(?)?(?)y?zz?xx?yy?zy?zz?xz?xx?yx?y ?x?y?z
x2y2z2???x?y?z?x?y?z 所以y?zz?xx?y x2y2z2???0 即：y?zz?xx?y
例7 已知a+b+c=a2+b2+c2=2，求证：a(1-a)2=b(1-b)2=c(1-c)2
分析：求证的等式中的各式，恰好是多项式x(1-x)2中的x分别取a、b、c时的值。
因此，本题可转化为证明当x分别取a、b、c时，x(1-x)2的值不变。由于x(1-x)2是关于x的三次
多项式，且注意到题设条件，所以我们构造三次式(x-a)(x-b)(x-c)，建立它与x(1-x)2之间的某种关系。
2
证明：∵(a+b+c)= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca 又∵a+b+c=a2+b2+c2=2
∴4=2+2ab+2bc+2ca，∴ab+bc+ca=1
∴(x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x-abc = x3-2x2+x-abc 即x(1-x)2=(x-a)(x-b)(x-c)+ abc
由此可见，当x分别取a、b、c时，x(1-x)2的值都是abc ∴ a(1-a)2=b(1-b)2=c (1-c)2
评注：本题的证明采用了构造法，它构造了三次式(x-a)(x-b)(x-c)，然后建立它与x(1-x)2之间的关系，再
通过赋值来证明。
1111???例8设abca?b?c，证明
(1) (1) a、b、c三数中必有两个数之和为零；
1111???nbncnan?bn?cn (2) (2) 对任何奇数n，有a分析：要求a、b、c三数中必有两个数之和为零，即要证(a+b)(b+c)(c+a)=0，故可对已知条件进行变形，
使它出现(a+b)、(b+c)、(c+a)这些因式。
1111???证明：(1)由abca?b?c得
?bc?ca?ab??a?b?c?abc??01111????0，即abc?a?b?c? abca?b?c
从已知知a、b、c≠0，所以abc≠0，且a+b+c≠0，
则 (bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=0
∵(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=a (bc+ca+ab)+ (b+c) (bc+ca+ab) –abc
= (b+c) (bc+ca+ab)+ abc+a2c+a2b–abc =(b+c) (bc+ca+ab)+ a2 (b+c) =(b+c) (a2+bc+ca+ab) =(a+b)(b+c)(c+a)
∴(a+b)(b+c)(c+a)=0，这就是说，在a+b、b+c、c+a 中至少有一个为零，即a、b、c三数中必有
两个数之和为零。
(2) 由(1)，不妨设a+b=0，即b= -a，因为n为奇数
1111111??????nbncnan??a?ncncn ∴a111??nnnnnnna?b?cc??a??a?c 又 1111???nbncnan?bn?cn ∴a 评注：实质(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc是关于a、b、c的一个轮换对称式。令a= -b，代入得
(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=(bc-bc-b2)(-b+b+c)-(-b)bc= -b2c+ b2c=0
这就是说a+b是(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc的一个因式，由轮换对称式的性质知， b+c、a +c也是(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc的一个因式，因此有 (bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=k (a+b)(b+c)(c+a)
再令a=b=c=1代入，求出k=1，所以(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc= (a+b)(b+c)(c+a)
例9 已知ad-bc=1，求证：a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1
分析：所要证明的式子是一个不等式，左边的式子又较复杂，直接从已知条件出发证明不是很容易，因
而可以考虑用反证法来证明。
证明：假设原式不成立，即a2+b2+c2+d2+ab+cd=1 ∵ad-bc=1，∴a2+b2+c2+d2+ab+cd= ad-bc
∴a2+b2+c2+d2+ab+cd+bc-ad=0，即(a+b)2+(b+c)2+(c+d)2+(d-a)2=0 ∴a+b=b+c=c+d=d-a=0，∴a=-b,b=-c,c=-d,d=a 于是a=-a,即a=0, ∴b=c=d=0，这与ad-bc=1矛盾。 ∴原式成立，即a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1
评注：正难则反。碰到正面下手较难的问题，常考虑用反证法来证明。
111n?1?????1?2?3???nn?1 例10证明：1?21?2?3