发布时间 : 星期日 文章2019年湖南省益阳市中考数学真题(解析版)更新完毕开始阅读e8c5753a50d380eb6294dd88d0d233d4b14e3f86
∴CM＝AM， ∵CM为⊙O的直径， ∴∠CNM＝90°， ∴MD⊥AC， ∴AN＝CN， ∵ND＝MN，
∴四边形AMCD是菱形．
（2）∵四边形CENM为⊙O的内接四边形， ∴∠CEN+∠CMN＝180°， ∵∠CEN+∠DEN＝180°， ∴∠CMN＝∠DEN， ∵四边形AMCD是菱形， ∴CD＝CM， ∴∠CDM＝∠CMN， ∴∠DEN＝∠CDM， ∴ND＝NE．
（3）∵∠CMN＝∠DEN，∠MDC＝∠EDN， ∴△MDC∽△EDN， ∴
，
，
设DN＝x，则MD＝2x，由此得解得：x＝∴
，
或x＝﹣
（不合题意，舍去），
∵MN为△ABC的中位线， ∴BC＝2MN， ∴BC＝2
．
24．（10分）为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾?稻”轮作模式．某农户有农田20亩，去年开始实施“虾?稻”轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元（利润＝售价﹣成本）．由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%，售价下降10%，出售小龙虾每千克获得利
润为30元．
（1）求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价；
（2）该农户今年每亩农田收获小龙虾100千克，若今年的水稻种植成本为600元/亩，稻谷售价为25元/千克，该农户估计今年可获得“虾?稻”轮作收入不少于8万元，则稻谷的亩产量至少会达到多少千克？
解：（1）设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元， 由题意得：解得：
；
，
答：去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为8元、40元； （2）设今年稻谷的亩产量为z千克，
由题意得：20×100×30+20×2.5z﹣20×600≥80000， 解得：z≥640；
答：稻谷的亩产量至少会达到640千克．
25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D，已知A（1，4），B（3，0）．
（1）求抛物线对应的二次函数表达式；
（2）探究：如图1，连接OA，作DE∥OA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由； （3）应用：如图2，P（m，n）是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n＝﹣1，连接PA、PC，在线段PC上确定一点M，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标． 提示：若点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则线段AB的中点坐标为（
，
）．
解：（1）函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4， 将点B坐标的坐标代入上式得：0＝a（3﹣1）2+4， 解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x﹣3；
（2）OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分，理由： 如图1，∵DE∥AO，S△ODA＝S△OEA，
S△ODA+S△AOM＝S△OEA+S△AOM，即：S四边形OMAD＝S△OBM， ∴S△OME＝S△OBM， ∴S四边形OMAD＝S△OBM；
（3）设点P（m，n），n＝﹣m2+2m+3，而m+n＝﹣1， 解得：m＝﹣1或4，故点P（4，﹣5）；
如图2，故点D作QD∥AC交PC的延长线于点Q，
由（2）知：点N是PQ的中点，
将点C（﹣1，0）、P（4，﹣5）的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线PC的表达式为：y＝﹣x﹣1…①， 同理直线AC的表达式为：y＝2x+2，
直线DQ∥CA，且直线DQ经过点D（0，3）， 同理可得直线DQ的表达式为：y＝2x+3…②， 联立①②并解得：x＝﹣，即点Q（﹣，）， ∵点N是PQ的中点，
由中点公式得：点N（，﹣）．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动． （1）当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；
（2）设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为
时，求OA的长；
（3）当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．
解：（1）如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，
∵矩形ABCD中，CD⊥AD， ∴∠CDE+∠ADO＝90°， 又∵∠OAD+∠ADO＝90°， ∴∠CDE＝∠OAD＝30°，
∴在Rt△CED中，CE＝CD＝2，DE＝在Rt△OAD中，∠OAD＝30°， ∴OD＝AD＝3， ∴点C的坐标为（2，3+2
）；
＝2
，
（2）∵M为AD的中点，∴DM＝3，S△DCM＝6，