发布时间 : 星期二 文章北京航空航天大学 概率统计 邢家省 第一章（第三，四节）更新完毕开始阅读e8ed0b5c3c1ec5da50e270f4
1?P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?a?b?P(AB),
得 P(AB)?a?b?1 , 于是
P(AB)a?b?1P(A|B)?? . P(B)b
第四节 全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式和贝叶斯公式是概率论中的两个基本公式，在概率计算和理论推导中起着重要作用。 一、 全概率公式
定理一 设事件组B1,B2,???,Bn满足：
Bi（1）?i?1n?S；
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（2）B1,B2,???,Bn互不相容； （3）P(Bi)?0,i?1,2,???,n，则对任意事件A，恒有
P(A)??P(Bi)P(A|Bi), (1.10)
i?1n式（1.10）称为全概率公式。
Bi??(ABi), 证：A?AS?A?i?1i?1nn互不相容知
AB1,AB2,???,ABn亦互不相容，故由概率的有限可加性及乘法公式得
B1,B2,???,BnP(ABi)??P(Bi)P(A|Bi) . P(A)??i?1i?1nn由
从形式上看，全概率公式似乎把
问题复杂化了，其实不然。在实际中，当事件A比较复杂不容易计算其概率P(A)时，如果P(Bi)和P(A|Bi)都比较容易计算，那么，应用全概率
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公式就容易把P(A)计算出来。运用全概率公式的关键往往在于找到满足定理中条件的事件组B1,B2,???,Bn。一般地说，事件组B1,B2,???,Bn是可能导致事件A发生的全部“原因”。
Bi注:（1）定理一中的条件?i?1Bi?A; 可减弱为?i?1nn?S（2）事件组可以是可列无穷多个事件:B1,B2,???,Bn,??? .
定理一＇设事件组B1,B2,???,Bn,???满足：（1）?Bi?S；
i?1?（2）B1,B2,???,Bn,???互不相容； （3）P(Bi)?0,i?1,2,???,n,?， 则对任意事件A，恒有
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P(A)??P(Bi)P(A|Bi), (1.10) ＇
i?1?式（1.10）＇称为全概率公式。 例1 某厂用三台机床生产了同样规格的一批产品,各台机床的产量分别占60%,30%,10%,次品率依次为4%,3%,7%.现从这批产品中随机地取一件,试求取到次品的概率. 解 令A?“取得次品”,
Bi?“取到第i台机床生产的产品”,
i?1,2,3 ;
显然, 事件组B1,B2,B3是可能导致事
件A发生的全部“原因.
B1?B2?B3?S,且B1,B2,B3互不相容. P(B1)?6030P(B)? , 2100100,P(B3)?10100,
734又已知P(A|B)?100,P(A|B)?100,P(A|B)?100,
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