发布时间 : 星期六 文章第1章行列式更新完毕开始阅读e94c7fdc77eeaeaad1f34693daef5ef7ba0d1291
第一章 行 列 式
行列式是线性代数的基础.本章将介绍 莱姆法则）等内容.
n 阶行列式的定义、性质、计算及其应用（克
§1.1 n 阶行列式的概念
1. 二阶行列式、三阶行列式
定义1 用记号
a1a211aa1112表示 a11a22?a12a21，称为二阶行列式.即
22
a1a2aa12=a11a22?a12a21 （1.1）
22说明 记忆方式为：实线所连接两个元素的乘积减去虚线所连接两个元素的乘积:
.
a1111a1aa2aaa132333定义2 用记号
a2a32232表示
a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31,
称为三阶行列式，即
a11a21a31a12a22a32a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31(1.2) a33说明 记忆方法为：各实线所连接三个元素的乘积是其正项，各虚线所连接三个元素的乘积是其负项.
或
说明 行列式的对角线法只适用于二阶、三阶行列式.. 2. n阶行列式
1）排列与逆序
定义3 由1,2,…，n组成的不重复的每一种确定次序的排列称为一个n级排列. 如132是三级排列，23154是五级排列.
定义4 在n级排列x1x2?xn中，若有较大的数xp排在较小的数xq前面，称xp和xq构成一个逆序.在n级排列中逆序的总数称逆序数，记为N?i1i2?in?，简记为N.
定义5 若排列x1x2?xn的逆序数N是奇数，则称该排列为奇排列，若N是偶数，则称该排列为偶排列.
例如在排列23154中，2，3在1前面，5在4前面，逆序数为
N?23154??0?0?2?0?1?3，即N?3，是奇排列.
又如排列12?n，逆序数N?12?n??0?0???0?0，即N?0，是偶排列. 2)对换
定义 在排列中，将任意两元素对调，其余不动，称为对换. 将相邻两个元素对换，称为相邻对换.
如在排列23154中，将3,5对调得到25134，记为（3,5）. 定理1 任一排列经一次对换后奇偶改变. 证 先证相邻对换情形.
设排列为almb，其中a,b表示除元素l,m外的元素.经对换为amlb.
比较前后两次的逆序数.因为a,b中原元素的次序没有变，且l,m与a,b中原元素也没有变，仅改变l,m的次序，所以新排列与原排列增加一个逆序（当l?m）或减少一个逆序（当m?l）.
再证一般情形.
现原排列为alk1k2?ktmb,经对调l,m后为新排列amk1k2?ktlb.比较这两个排列的逆序数.因为l与k1k2?kt作t次相邻对换得ak1k2?ktlmb,再经t?1次相邻对换得
amk1k2?ktlb,总共作2t?1次相邻对换将原排列得新排列，所以由原排列作了奇数次改变
得到新排列，故奇偶性相反。
3) n阶行列式
为了研究n阶行列式，再来看看三阶行列式，从(1.2)式可见： （1）(1.2)式右边的每一项都是位于不同行、不同列三个元素的乘积
a1m1,a2m2,a3m3,其中
m1,m2,m3表示三级排列.
（2）当
m1,m2,m3取遍三级排列时，得到三阶行列式的所有项，共有3!=6项.
a11a21a31a12a22a32a13a23=?(?1)Na1m1a2m2a3m3a33.
（3）每一项的符号表示三级排列的逆序数. 即
仿此可推广到n阶行列式的情形. 定义7 用n2个元素
nnaij(i,j?1,2,?,n)，排成行列
a11aD?a21a?an1?1222?an1?a?n2
， (1,3)
an2?ann称为n阶行列式，它表示位于不同行、不同列n个元素的乘积，共n!项。每一项的符号确定：行标为自然数排列，列标为m1m2?mn，当列标为偶排列时取正号，为奇排列时取负号，则n阶行列式的一般项为??1?a1m1a2m2?a3m3，即
ND????1?a1m1a2m2?a3m3N. （1.4）
说明 ①一阶行列式a11就是a11，要注意不能与绝对值记号混淆.
②
n阶行列式可写成aijn?n或aij.
③一个行列式若有一行(列)中的元素皆为0，则词行列式为0.
例1 计算行列式
a11D?a21?an10a22?an2
00???0 0?an3?ann的值，其中aii?0?i?1,2,?,n?.
解 一般项为??1?a1m1a2m2?anmn，D中不为0的元素为aimi且mi?i.则D中不为0的只有一项??1?a11a22?ann,N?0，N=0，故
NND?a11a22?ann.
定义8 称例1中的行列式为下三角行列式。
（1.5）
a2??,n?,. 说明 ①同理可得上三角行列式D?a112ann，其中aii?0?i?1,2②特殊情形：
a11D??ann?a11a12?ann，
（1.6）
其中aii?0?i?1,2,?,n?.
例2 求证：
a1nD?an1a2n,??1 (1.7)
?(?1)n(n?1)21naaa2n,??1n1其中
a1n?0,?,a2,n?1?0,an1?0.
证 D???1?NN为n?n?1??21aan，其中的逆序数。 1na2n,??11N?0?1?2??n?1?n?n?1?. 2定义9 形如(1.6)式和(1.7)式的行列式称为对角行列式.从左上角到右下角对角线称为主对角线，从右上角到左下角的对角线称为副对角线.
说明 在n阶行列式的定义中一般项也可由下面定理来确定。
定理2
n阶行列式D?aij的一般项记为
ai1j1aij2?ainjn2 （1.8）
??1?N?i1i2?in??N?jj1?2jn?其中i1i2?in与j1j2?jn都是n级排列.
j?证 因为i1i2?in与j12jn都是n级排列，所以(1.8)中n个元素取自D中的不同行不
同列。