发布时间 : 星期六 文章2019人教版高中数学必修四第一章三角函数1.1任意角和弧度制（教师版）个性化辅导含答案精品教育 doc更新完毕开始阅读e96aa3a5b80d6c85ec3a87c24028915f814d8441
任意角和弧度制
__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.理解1弧度的角、弧度制的定义. 2.掌握角度与弧度的换算公式 3.熟记特殊角的弧度数 (一)角的概念： 1 任意角
正角：按顺时针方向形成的角 负角：按逆时针方向形成的角 2 象限角
定义：角的顶在原点始边与x轴重合，终边在第几象限此角就是第几象限角。 与角α有相同终边所有角表示为：α+2kπ（k为任意整数） （1）在直角坐标系内讨论角：
注意：若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
（2）①与?角终边相同的角的集合：{?|??360k??,k?Z}或{?|??2k???,k?Z} （3）区间角的表示： ①象限角： 象限角 第一象限角的集合 第二象限角的集合 第三象限角的集合 第四象限角的集合 ②写出图中所表示的区间角： 由?的终边所在的象限， 来判断
象限角的集合表示 0{x|k?360o
1 弧度角的规定.
它的单位是rad 读作弧度
B C l=2r 如图：?AOB=1rad r ?AOC=2rad 2rad 1rad A r A
o 周角=2?rad o 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。与圆的半径无关以弧度为单位来度量角的制度叫弧度制。
（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 （2）角?的弧度数的绝对值 ??
l（l为弧长，r为半径） r （3）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 弧度制与角度制的换算公式：弧度制=角度制*π/180o
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角度制=弧度制*180o/π
2π=360o
弧度数α与弧长L与半径R的关系：L=Rα（可用来求弧长与半径） （4）弧长公式：L=Rα；扇形面积公式：S?12?R2
n?R2n?r弧长公式：l?，扇形面积公式：S扇?（初中）
360180
2 弧度制与角度制的换算：
因为周角的弧度数是2?，角度是360°，所以有 360??2?rad1??180???rad ?180rad?0.01745rad把上面的关系反过来写
2?rad?360??rad?180? 180?1rad?()rad?57.30??57?18? ?0?~360?之间的一些特殊角的度数与弧度数的互化必需熟练掌握.
度 弧度 0° 0 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° ? 6? 4? 3? 22? 33? 45? 6? 3? 22? 类型一：角的概念问题
1. 终边相同的角的表示
例1 若角?是第三象限的角，则角??的终边在第______象限. 答案：二.
??解析：因为?是第三象限的角，故?k?360?270 1o8k0?,Z，故??的终边在第二象限. 练习：与610角终边相同的角可表示为_____________. 【答案：k?360?250(k?Z）】 2. 象限角的表示 oo?是第几象限的角？（2）角2?终边的位置. 2思路：先根据已知条件得出角的范围，再通过讨论k值来确定象限角. 例2 已知角?是第二象限角，问（1）角 解析：（1）因为?是第二象限的角，故k?360?90 ooook?180??45???2?k?180??45?k?180o?45o ?2在 第一象限；当k为奇数时，?在第三象限，故为第一或第三象限角. 22（2）由k?360?90 oooo?第 2 页 2k?360o?180o<2?<2k?360o? 360o(k?Z)，故角2?终边在下半平面. 点评：已知?所在象限，求 结论： ?n (n?N*)所在象限的问题，一般都要分几种情况进行讨论. ? ? 2第一象限 第一、三象限 第二象限 第一、三象限 第三象限 第二、四象限 第四象限 第二、四象限 类型二：弧度制与弧长公式 1.角度制与弧度制的互化 例3 把下列各角的度数化为弧度数： 解 因为1???180rad，所以 练习：把下列各角的弧度数化为度数： 解 因为 ? rad＝180，所以 ?例4 （1）设??750o，用弧度制表示?，并指出它所在的象限； （2）设???，用角度制表示?，并在?720～0内找出与它有相同终边的所有角. 导思：（1）角度与弧度应如何进行互化？（2）确定角为第几象限角的依据是什么？（3）怎样找终边相同的角？依据是什么？ 35oo1803180o3 （2）??(，由)???108o，与它终边相同的角可表示为k?360o?180o(k?Z） 5?533?720o≤k?360o?180o<0o，得?2≤k 1010内与?有相同终边的所有角是?612和?252. 点评：角度与弧度进行互化，关键是对转化公式的理解和应用；判断一个角所在的象限，关键是在[0,2?]内找到与该角终边相同的角. o练习：（1）设???570，用弧度制表示?，并指出它所在的象限； oo解析：（1）????750?25???2?2??，故?在第一象限. 667?，用角度制表示?，并在?720o～0o内找出与它有相同终边的所有角. 3?195?解析：（1）??，故?在第二象限. ?(?570)?????2?2??180667180o7 （2）???()?(??)??420o，故在?720o～0o范围内与?有相同终边的角是 3?3 （2）设???60o. 第 3 页 2.求弧长与扇形面积 例5 已知一扇形中心角为?，所在圆半径为R. （1）若???3，R?10cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积； （2）若扇形的周长为一定值C(C>0)，当?为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值. 导思：（1）扇形的弧长公式是什么？（2）怎样由扇形面积来求弓形的面积？（3）如何用扇形的周长C表示扇形面积？（4）怎样求最大值？能用二次函数来求吗？能用基本不等式来求吗？ 解析：（1）设弧长为l，弓形面积为S弓，则l?10?(cm)， 3故S弓?S扇?S????3110?1)(cm2). ??10??102?sin?50(?332232（2）解法一：由扇形周长C?2R?l，得l?C?2R， 1C2C2112故S扇=Rl?R(C?2R)??R?RC??(R?)?. 241622C2CC当R?时，S扇有最大值且最大值为.此时l?C?2R?， 1642故??lC4???2.故当??2时，该扇形有最大面积. R2CC解法二：由扇形周长C?2R?l?2R??R，得R?， 2?a11C2C21C21C22故S扇=?R???(， )?????≤222??24?4???224???416?2C2当且仅当??4，即a?2时，扇形面积最大为. 16点评：在应用扇形弧长和面积公式时，如果圆心角用角度表示，则应先化为弧度；注意不要把弓形面积与扇形面积相混淆. 2 练习：设扇形的周长为8cm，面积为4cm，则扇形的圆心角的弧度数是________. 解：S?1l4(8?2r)r?4，即r2?4r?4?0，解得r?2，故l?4，从而????2. 2r21、下列角中终边与330°相同的角是（ ） A．30° B．-30° C．630° D．-630° 答案：B 2、－1120°角所在象限是 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：D 3、把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是 （ ） A．45°－4×360°B．－45°－4×360°C．－45°－5×360°D．315°－5×360° 答案：D 第 4 页