发布时间 : 星期六 文章十年高考真题分类汇编(2010-20 19) 数学 专题19 不等式选讲更新完毕开始阅读e978db56fe4ffe4733687e21af45b307e871f90c
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学
专题19不等式选讲
1.(2019·全国1·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲] 已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明: (1)++≤a+b+c; (2)(a+b)+(b+c)+(c+a)≥24.
【解析】(1)因为a+b≥2ab,b+c≥2bc,c+a≥2ac,又abc=1,故有a+b+c≥ab+bc+ca=所以++≤a+b+c. (2)因为a,b,c为正数且abc=1, 故有(a+b)+(b+c)+(c+a) ≥3√(a+b)(b+c)(a+c) =3(a+b)(b+c)(a+c)
≥3×(2√ab)×(2√bc)×(2√ac)=24. 所以(a+b)+(b+c)+(c+a)≥24.
2.(2019·全国2·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲] 已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a). (1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集; (2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围. 【解析】(1)当a=1时,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1). 当x<1时,f(x)=-2(x-1)<0; 当x≥1时,f(x)≥0.
所以,不等式f(x)<0的解集为(-∞,1). (2)因为f(a)=0,所以a≥1. 当a≥1,x∈(-∞,1)时,
f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0. 所以,a的取值范围是[1,+∞).
3.(2019·全国3·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲] 设x,y,z∈R,且x+y+z=1.
1
2
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
1
a1b1c222
ab+bc+caabc=a+b+c. 111
1a1b1c222
3
333
(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2
的最小值;
(2)若(x-2)2
+(y-1)2
+(z-a)2
≥1
3成立,证明:a≤-3或a≥-1. 【解析】(1)解由于[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2
=(x-1)2
+(y+1)2
+(z+1)2
+2[(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)] ≤3[(x-1)2
+(y+1)2
+(z+1)2
], 故由已知得(x-1)2
+(y+1)2
+(z+1)2
≥4
3, 当且仅当x=5,y=-1,z=-1333时等号成立. 所以(x-1)2
+(y+1)2
+(z+1)2
的最小值为4
3. (2)证明由于[(x-2)+(y-1)+(z-a)]2
=(x-2)2
+(y-1)2
+(z-a)2
+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)] ≤3[(x-2)2
+(y-1)2
+(z-a)2
], 故由已知得(x-2)2
+(y-1)2
+(z-a)
2
(2+a2
≥)3,
当且仅当x=4-a
1-a
2a-2
3,y=3,z=3时等号成立. 因此(x-2)2
+(y-1)2
+(z-a)
2
2
的最小值为
(2+a)
3.
2
由题设知
(2+a)
3
≥13
,解得a≤-3或a≥-1.
4.(2018·全国1·文T23理T23)[选修4—5:不等式选讲]已知f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围. 【解析】(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|, -2,x≤-1,
即f(x)={2x,-1
2,x≥1.
故不等式f(x)>1的解集为{x|x>1
2}.
(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立. 若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;
若a>0,|ax-1|<1的解集为0 2a,所以a≥1,故0 2 5.(2018·全国2·文理23)[选修4—5:不等式选讲]设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集; (2)若f(x)≤1,求a的取值范围. 【解析】(1)当a=1时, 2x+4,x≤-1,f(x)={2,-1 -2x+6,x>2. 可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}. (2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4. 而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于|a+2|≥4. 由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2.所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞). 6.(2018·全国3·文理23)[选修4—5:不等式选讲]设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|. (1)画出y=f(x)的图像; (2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值. -3x,x<-, 【解析】(1)f(x)={x+2,-1≤x<1, 3x,x≥1. 212 (2)由(1)知,y=f(x)的图像与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a≥3且b≥2时,f(x)≤ax+b在[0,+∞)成立,因此a+b的最小值为5. 7.(2017·全国1·理T23文T23)已知函数f(x)=-x+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. 2 3 (1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集; (2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围. 【解析】(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2 -x+|x+1|+|x-1|-4≤0.① 当x<-1时,①式化为x2 -3x-4≤0,无解; 当-1≤x≤1时,①式化为x2 -x-2≤0,从而-1≤x≤1; 当x>1时,①式化为x2 +x-4≤0,从而1 所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等价于当x∈[-1,1]时f(x)≥2. 又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)≥2且f(1)≥2,得-1≤a≤1. 所以a的取值范围为[-1,1]. 8.(2017·全国3·理T23文T23)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集; (2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围. -3,x<-1, 【解析】(1)f(x)={2x-1,-1≤x≤2, 3,x>2.当x<-1时,f(x)≥1无解; 当-1≤x≤2时,由f(x)≥1得,2x-1≥1,解得1≤x≤2; 当x>2时,由f(x)≥1解得x>2.所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}. (2)由f(x)≥x2 -x+m得m≤|x+1|-|x-2|-x2 +x. 而|x+1|-|x-2|-x2 +x≤|x|+1+|x|-2-x2 +|x| =-(|x|-3) 2 2+55 4≤4, 且当x=32 时,|x+1|-|x-2|-x2 +x=5 .故m的取值范围为(-∞,544 ]. 9.(2017·全国2·理T23文T23)已知a>0,b>0,a3 +b3 =2.证明: (1)(a+b)(a5 +b5 )≥4; (2)a+b≤2. 【解析】(1)(a+b)(a5 +b5 )=a6 +ab5 +a5 b+b6 =(a3 +b3)2 -2a3b3 +ab(a4 +b4) 4