发布时间 : 星期日 文章（江苏专用）2020高考数学二轮复习专项强化练（七）平面向量更新完毕开始阅读e97ba202bb0d6c85ec3a87c24028915f804d84cf
专项强化练(七) 平面向量
A组——题型分类练
题型一 平面向量的线性运算
―→|BC|―→―→―→
1．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若OA＋2OC＝3OB，则的值为________．
―→|AB|―→―→―→―→―→―→―→
解析：由OA＋2OC＝3OB，得OA－OB＝2OB－2OC， ―→
|BC|1―→―→
即BA＝2CB，所以＝.
―→2|AB|1答案： 2
―→―→―→―→―→
2．在?ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝____________(用a，b表示)．
1―→―→―→3―→3―→―→―→―→3解析：由AN＝3NC得AN＝AC＝(a＋b)，AM＝a＋b，所以MN＝AN－AM＝(a
442411?1?＋b)－?a＋b?＝－a＋b.
44?2?
11
答案：－a＋b
44
―→
3．已知Rt△ABC的面积为2，∠C＝90°，点P是Rt△ABC所在平面内的一点，满足CP―→―→4CB9CA―→―→＝＋，则PA·PB的最大值是________． ―→―→|CB||CA|
―→―→―→―→―→―→―→―→
解析：由条件可知|CA|·|CB|＝4，CA·CB＝0，因为PA＝CA－CP＝CA－―→―→―→―→4CB9CA4CB9CA―→―→―→―→―→―→
－，PB＝CB－CP＝CB－－，故PA·PB＝―→―→―→―→|CB||CA||CB||CA|―→―→??―→―→??―4CB9CA4CB9CA→―→→―→?CA－?·?CB－?＝97－9|―－－CA|－4|CB|≤97－12×2＝
―→―→??―→―→??
|CB||CA|??|CB||CA|??
―→―→―→4―→
73，当且仅当9|CA|＝4|CB|，即|CA|＝，|CB|＝3时等号成立．
3
答案：73 [临门一脚]
1．对相等向量、零向量、单位向量等概念的理解要到位．
2．用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相
应的三角形或平行四边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果．
3．线性运算由于基底运用难度较大，能建立坐标系的时候，建系优先． 4．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．
―→―→―→
5．已知OA＝λOB＋μOC (λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
题型二 平面向量的坐标表示
1．(2019·锡山中学模拟)已知向量a，b满足a＋2b＝(－3,4)，2a－b＝(4，－2)，则a＋b＝________.
??a＋2b＝解析：?
?2a－b＝?
2
2
－3，4，
4，－2，
得a＝(1,0)，b＝(－2,2)．所以a＋b＝|a|＋|b|
2222
＝1＋(－2)＋2＝9.
答案：9
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值是________．
解析：因为u＝(1＋2x,4)，v＝(2－x,3)，u∥v， 1所以8－4x＝3＋6x，所以x＝.
21答案： 2
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝____________.
解析：不妨设c＝(m，n)，
则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)， 对于(c＋a)∥b，有－3(1＋m)＝2(2＋n)．① 对于c⊥(a＋b)，有3m－n＝0.② 77
联立①②，解得m＝－，n＝－.
937??7
故c＝?－，－?.
3??97??7
答案：?－，－?
3??9[临门一脚]
1．解决向量的坐标运算问题，关键是掌握线性运算法则及坐标运算的特点．一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标．解题时注意利用向量相等(横、纵坐标分别相等)建立方程(组)求解．
22
2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.
题型三 平面向量的数量积
1．已知向量a＝(3，－2)，b＝(1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为________．
解析：依题意，λa＋b＝(3λ＋1，－2λ)，a－2b＝(1，－2)，所以(λa＋b)·(a－2b)1
＝7λ＋1＝0，λ＝－.
7
1
答案：－
7
―→―→―→―→―→―→―→
2．已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝2，|AC|＝3.若AP＝λAB＋AC，―→―→
且AP⊥BC，则实数λ的值为________．
―→―→―→―→―→―→―→―→
解析：由题意得，AB·AC＝－3，由AP·BC＝(λAB＋AC)·(AC－AB)＝0，12―→―→―→2―→2―→―→
得λAB·AC－λAB＋AC－AC·AB＝0，即－3λ－4λ＋9＋3＝0，故λ＝.
7
12答案： 7
3．(2019·丹阳中学月考)在直角坐标系中，已知三点A(a,1)，B(3，b)，C(4,5)，O―→―→―→―→―→
为坐标原点．若向量OA与OC在向量OB方向上的投影相等，且AB·OC＝－10，则a－b＝________.
―→―→―→―→―→―→―→
解析：因为向量OA与OC在向量OB方向上的投影相等，所以OA·OB＝OB·OC， 3a＋b＝12＋5b，即3a－4b－12＝0，①
―→―→―→―→
又AB＝(3－a，b－1)，OC＝(4,5)，所以AB·OC＝－4a＋5b＋7＝－10，即4a－5b－17＝0，②
②－①得a－b＝5. 答案：5
4．(2018·武汉调研)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1.边DC上的动点P(包含点D，C)―→―→―→―→
与CB延长线上的动点Q(包含点B)满足|DP|＝|BQ|，则PA·PQ的最小值为________．
解析：以点A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，1)，Q(2，y)，由题意知0≤x≤2，－―→―→―→
2≤y≤0.∵|DP|＝|BQ|，∴|x|＝|y|，∴x＝－y.∵PA＝(－x，－1)，
x1y1x2y2
―→―→―→?1?22PQ＝(2－x，y－1)，∴PA·PQ＝－x(2－x)－(y－1)＝x－2x－y＋1＝x－x＋1＝?x－?
?2?
2
313―→―→
＋，∴当x＝时，PA·PQ取得最小值，为. 424
3答案： 4
―→
1―→4AB5．在△ABC中，AB⊥AC，AB＝，AC＝t，P是△ABC所在平面内一点，若AP＝＋t―→
|AB|―→
AC―→|AC|
，则△PBC面积的最小值为________．
解析：由于AB⊥AC，故以AB，AC所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系(图―→―→
14ABAC―→??略)，则B?，0?，C(0，t)，因为AP＝＋，所以点P坐标为(4,1)，直线BC的
―→―→?t?
|AB||AC||4t＋1－t|t＋1
方程为tx＋y－t＝0，所以点P到直线BC的距离为d＝，BC＝，所以△
tt4＋1
2
2
1?31|4t＋1－t|t4＋11?14t＋－1PBC的面积为××＝≥，当且仅当t＝时取等号． ??t?22t2?2t4＋1
2
4
3
答案： 2[临门一脚]
1．若向量a，b，c满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c.
2．两个向量a与b的夹角为锐角(钝角)，则有a·b>0(a·b<0)，反之不成立(因为夹角为0(π)时不成立)．
3．在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|＝a·a要引起足够重视，是求模常用的公式．
4．数量积的运算中，a·b＝0?a⊥b，是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.
5．平面向量的求解常见方法有定义法、坐标法、转化法、极化恒等式法、投影法．
B组——高考提速练
1．(2019·盐城中学模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3，m)，若a∥(2a－b)，则a在b方向上的投影是________．
解析：2a－b＝(2,4)－(－3，m)＝(5,4－m)，因为a∥(2a－b)，所以1×(4－m)－2×5