发布时间 : 星期六 文章专题06 数列-备战2020年高考数学(文)之纠错笔记系列(解析版)更新完毕开始阅读e986cc78dbef5ef7ba0d4a7302768e9950e76e31
专题06 数列
易错点1 忽略了n的取值
已知数列{an}满足a1a2a3【错解】由a1a2a33an=n3(n?N*)，求数列{an}的通项公式an．
an=n，可得a1a2a3n3an?1=(n?1),两式相除可得an=．
(n?1)33【错因分析】a1a2a33nan?1=(n?1)仅适用于n?N*且n?2时的情况，故不能就此断定an=3就是
(n?1)3数列{an}的通项公式．
【试题解析】当n?1时，a1?1；当n?2时，由a1a2a3an=n3，可得a1a2a3an?1=(n?1)3,两式相除可
?1,n?1n?3a?.得an=，故n?n* 3,n?1,n?N(n?1)?(n?1)3?3
已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法
a2a3an
(1)形如an＋1＝anf(n)，常用累乘法，即利用恒等式an＝a1·a1·a2·…·an－1求通项公式．
(2)形如an＋1＝an＋f(n)，常用累加法．即利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)求通项公式． (3)形如an＋1＝ban＋d(其中b，d为常数，b≠0,1)的数列，常用构造法．其基本思路是：构造an＋1＋x＝b(an＋d
x)(其中x＝b－1)，则{an＋x}是公比为b的等比数列，利用它即可求出an. pan1r1q
(4)形如an＋1＝qan＋r(p，q，r是常数)的数列，将其变形为an＋1＝p·an＋p.
?1?q??若p＝r，则?an?是等差数列，且公差为p，可用公式求通项；
若p≠r，则采用(3)的办法来求．
(5)形如an＋2＝pan＋1＋qan(p，q是常数，且p＋q＝1)的数列，构造等比数列．将其变形为an＋2－an＋1＝(－q)·(an＋1－an)，则{an－an－1}(n≥2，n∈N*)是等比数列，且公比为－q，可以求得an－an－1＝f(n)，然后
用累加法求得通项．
(6)形如a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n)的式子， 由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n)，①
得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝f(n－1)，② 再由①－②可得an.
(7)形如an＋1＋an＝f(n)的数列，可将原递推关系改写成an＋2＋an＋1＝f(n＋1)，两式相减即得an＋2－an＝f(n＋1)－f(n)，然后按奇偶分类讨论即可．
an?2f(n?1)?(8)形如an·an＋1＝f(n)的数列，可将原递推关系改写成an＋2·an＋1＝f(n＋1)，两式作商可得，然anf(n)后分奇、偶讨论即可．
(9)an＋1－an＝qan＋1an(q≠0)型，将方程的两边同时除以an＋1an，可构造一个等差数列． 11
具体步骤：对an＋1－an＝qan＋1an(q≠0)两边同时除以an＋1an，得到an－an＋1＝q，即 1
an＋1－an＝－q，
11
令bn＝an，则{bn}是首项为a1，公差为－q的等差数列. (10)an＝parn－1(n≥2，p>0)型，一般利用取对数构造等比数列．
具体步骤：对an＝par得到lg an＝rlg an－1＋lg p，令bn＝lg an，则{bn}可归为an＋1＝pann－1两边同取常用对数，＋q(p≠0,1，q≠0)型. 1
21．已知数列?an?的前n项和为Sn?n?1，数列{bn}满足bn?2，则bn?_____________. an?1?2,n?1??3【答案】?
1?,n?2??n22【解析】当n?1时，a1=S1=2，因为Sn?n?1,Sn?1?(n?1)?1(n?2)，两式相减得
an?Sn?Sn?1?2n?1(n2) ，
?2，n?1所以当n?2时，an?2n?1，又a1=2不符合上式，所以an??，
2n?1，n2?
?2,n?1?2?3. 因为bn?，所以bn??an?11?,n?2??n【名师点睛】本题考查的知识点是数列的通项公式，其中正确理解由数列的前n项和Sn，求通项公式的方法：an???S1，n?12和步骤是解答本题的关键．由已知中?an?的前n项和Sn?n?3n?2，
?Sn?Sn?1，n?2?S1，n?1结合an??，分别讨论n?2时与n?1时的通项公式，并由n?1时，a1的值不满足
S?S，n?2n?1?nn?2时的通项公式，故要将数列?an?的通项公式写成分段函数的形式．
易错点2 忽略数列中为0的项
设等差数列?an?的前n项和为Sn，公差为d，且满足a1?0，S11?S18，则当Sn最大时，n?__________．
【错解】由S11?S18，得11a1+11?1018?17d?18a1?d，即a1=?14d，由a1?0可知d?0，解不等22?an?a1?(n?1)d?0??14d?(n?1)d?0,,得14?n?15．又n?N*，故当n?15时Sn最大． 式组?即???14d?nd?0?an?1?a1?nd?0【错因分析】由于a15?0，所以S14?S15，当n?14或n?15时Sn最大，错解中忽略了数列中为0的项． 【试题解析】 【正解1】由S11?S18，得11a1+11?1018?17d?18a1?d，即a1=?14d，由a1?0可知22d?0，解不等式组?时Sn最大．
?an?a1?(n?1)d?0??14d?(n?1)d?0,即?,得14?n?15．故当n?14或n?15??14d?nd?0?an?1?a1?nd?0【正解2】由S11?S18，可得a1=?14d，所以Sn??14dn?n(n?1)d29841d?(n?)2?d，由n?N*2228并结合Sn对应的二次函数的图象知，当n?14或n?15时Sn最大．
a15=0，【正解3】由S11?S18，得a12?a13?a14?a15?a16?a17?a18?0，即7a15=0，由a1?0可知d?0，
故当n?14或n?15时Sn最大．
数列是特殊的函数关系，因此常利用函数的思想解决数列中最值问题 1．等差数列的前n项和与函数的关系 等差数列的前n项和公式为Sn?na1?Sn＝An2＋Bn.
当A≠0，即d≠0时，Sn是关于n的二次函数，(n，Sn)在二次函数y＝Ax2＋Bx的图象上，为抛物线y＝Ax2＋Bx上一群孤立的点．利用此性质可解决前n项和Sn的最值问题． 2．等差数列前n项和的最值
(1)若等差数列的首项a1>0，公差d<0，则等差数列是递减数列，正数项有限，前n项和有最大值，且满
??an≥0，足? ?a≤0.?n＋1
dn(n?1)ddd
a1－?n，令A＝，B＝a1－，则d可变形为Sn＝2n2＋?2??222
(2)若等差数列的首项a1<0，公差d>0，则等差数列是递增数列，负数项有限，前n项和有最小值，且满
?an≤0，?
足? ?a≥0.?n＋1
3．求等差数列前n项和的最值的方法
(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*. (2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值．
???an≥0，?an≤0，
?(3)项的符号法：当a1>0，d<0时，满足的项数n，使Sn取最大值；当a1<0，d>0时，满足??an＋1≤0?an＋1≥0??
的项数n，使Sn取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使Sn取最值的n有两个．
4．在等差数列?an?中，若a1?0，Sp?Sq(p?q)，则（1）p?q为偶数?当n?p?q时Sn最大；（2）2p?q为奇数?当n?p?q?1p?q?1或时Sn最大． 22
2．等差数列?an?中，a1?2，S10?15，记Bn?a2?a4?a8?最大值. 【答案】4
?a2n，则当n?__________时，Bn取得