发布时间 : 星期六 文章专题06 数列-备战2020年高考数学(文)之纠错笔记系列(解析版)更新完毕开始阅读e986cc78dbef5ef7ba0d4a7302768e9950e76e31
专题06 数列
易错点1 忽略了n的取值
已知数列{an}满足a1a2a3【错解】由a1a2a33an=n3(n?N*),求数列{an}的通项公式an.
an=n,可得a1a2a3n3an?1=(n?1),两式相除可得an=.
(n?1)33【错因分析】a1a2a33nan?1=(n?1)仅适用于n?N*且n?2时的情况,故不能就此断定an=3就是
(n?1)3数列{an}的通项公式.
【试题解析】当n?1时,a1?1;当n?2时,由a1a2a3an=n3,可得a1a2a3an?1=(n?1)3,两式相除可
?1,n?1n?3a?.得an=,故n?n* 3,n?1,n?N(n?1)?(n?1)3?3
已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法
a2a3an
(1)形如an+1=anf(n),常用累乘法,即利用恒等式an=a1·a1·a2·…·an-1求通项公式.
(2)形如an+1=an+f(n),常用累加法.即利用恒等式an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)求通项公式. (3)形如an+1=ban+d(其中b,d为常数,b≠0,1)的数列,常用构造法.其基本思路是:构造an+1+x=b(an+d
x)(其中x=b-1),则{an+x}是公比为b的等比数列,利用它即可求出an. pan1r1q
(4)形如an+1=qan+r(p,q,r是常数)的数列,将其变形为an+1=p·an+p.
?1?q??若p=r,则?an?是等差数列,且公差为p,可用公式求通项;
若p≠r,则采用(3)的办法来求.
(5)形如an+2=pan+1+qan(p,q是常数,且p+q=1)的数列,构造等比数列.将其变形为an+2-an+1=(-q)·(an+1-an),则{an-an-1}(n≥2,n∈N*)是等比数列,且公比为-q,可以求得an-an-1=f(n),然后
用累加法求得通项.
(6)形如a1+2a2+3a3+…+nan=f(n)的式子, 由a1+2a2+3a3+…+nan=f(n),①
得a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=f(n-1),② 再由①-②可得an.
(7)形如an+1+an=f(n)的数列,可将原递推关系改写成an+2+an+1=f(n+1),两式相减即得an+2-an=f(n+1)-f(n),然后按奇偶分类讨论即可.
an?2f(n?1)?(8)形如an·an+1=f(n)的数列,可将原递推关系改写成an+2·an+1=f(n+1),两式作商可得,然anf(n)后分奇、偶讨论即可.
(9)an+1-an=qan+1an(q≠0)型,将方程的两边同时除以an+1an,可构造一个等差数列. 11
具体步骤:对an+1-an=qan+1an(q≠0)两边同时除以an+1an,得到an-an+1=q,即 1
an+1-an=-q,
11
令bn=an,则{bn}是首项为a1,公差为-q的等差数列. (10)an=parn-1(n≥2,p>0)型,一般利用取对数构造等比数列.
具体步骤:对an=par得到lg an=rlg an-1+lg p,令bn=lg an,则{bn}可归为an+1=pann-1两边同取常用对数,+q(p≠0,1,q≠0)型. 1
21.已知数列?an?的前n项和为Sn?n?1,数列{bn}满足bn?2,则bn?_____________. an?1?2,n?1??3【答案】?
1?,n?2??n22【解析】当n?1时,a1=S1=2,因为Sn?n?1,Sn?1?(n?1)?1(n?2),两式相减得
an?Sn?Sn?1?2n?1(n2) ,
?2,n?1所以当n?2时,an?2n?1,又a1=2不符合上式,所以an??,
2n?1,n2?
?2,n?1?2?3. 因为bn?,所以bn??an?11?,n?2??n【名师点睛】本题考查的知识点是数列的通项公式,其中正确理解由数列的前n项和Sn,求通项公式的方法:an???S1,n?12和步骤是解答本题的关键.由已知中?an?的前n项和Sn?n?3n?2,
?Sn?Sn?1,n?2?S1,n?1结合an??,分别讨论n?2时与n?1时的通项公式,并由n?1时,a1的值不满足
S?S,n?2n?1?nn?2时的通项公式,故要将数列?an?的通项公式写成分段函数的形式.
易错点2 忽略数列中为0的项
设等差数列?an?的前n项和为Sn,公差为d,且满足a1?0,S11?S18,则当Sn最大时,n?__________.
【错解】由S11?S18,得11a1+11?1018?17d?18a1?d,即a1=?14d,由a1?0可知d?0,解不等22?an?a1?(n?1)d?0??14d?(n?1)d?0,,得14?n?15.又n?N*,故当n?15时Sn最大. 式组?即???14d?nd?0?an?1?a1?nd?0【错因分析】由于a15?0,所以S14?S15,当n?14或n?15时Sn最大,错解中忽略了数列中为0的项. 【试题解析】 【正解1】由S11?S18,得11a1+11?1018?17d?18a1?d,即a1=?14d,由a1?0可知22d?0,解不等式组?时Sn最大.
?an?a1?(n?1)d?0??14d?(n?1)d?0,即?,得14?n?15.故当n?14或n?15??14d?nd?0?an?1?a1?nd?0【正解2】由S11?S18,可得a1=?14d,所以Sn??14dn?n(n?1)d29841d?(n?)2?d,由n?N*2228并结合Sn对应的二次函数的图象知,当n?14或n?15时Sn最大.
a15=0,【正解3】由S11?S18,得a12?a13?a14?a15?a16?a17?a18?0,即7a15=0,由a1?0可知d?0,
故当n?14或n?15时Sn最大.
数列是特殊的函数关系,因此常利用函数的思想解决数列中最值问题 1.等差数列的前n项和与函数的关系 等差数列的前n项和公式为Sn?na1?Sn=An2+Bn.
当A≠0,即d≠0时,Sn是关于n的二次函数,(n,Sn)在二次函数y=Ax2+Bx的图象上,为抛物线y=Ax2+Bx上一群孤立的点.利用此性质可解决前n项和Sn的最值问题. 2.等差数列前n项和的最值
(1)若等差数列的首项a1>0,公差d<0,则等差数列是递减数列,正数项有限,前n项和有最大值,且满
??an≥0,足? ?a≤0.?n+1
dn(n?1)ddd
a1-?n,令A=,B=a1-,则d可变形为Sn=2n2+?2??222
(2)若等差数列的首项a1<0,公差d>0,则等差数列是递增数列,负数项有限,前n项和有最小值,且满
?an≤0,?
足? ?a≥0.?n+1
3.求等差数列前n项和的最值的方法
(1)二次函数法:用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值,但要注意n∈N*. (2)图象法:利用二次函数图象的对称性来确定n的值,使Sn取得最值.
???an≥0,?an≤0,
?(3)项的符号法:当a1>0,d<0时,满足的项数n,使Sn取最大值;当a1<0,d>0时,满足??an+1≤0?an+1≥0??
的项数n,使Sn取最小值,即正项变负项处最大,负项变正项处最小,若有零项,则使Sn取最值的n有两个.
4.在等差数列?an?中,若a1?0,Sp?Sq(p?q),则(1)p?q为偶数?当n?p?q时Sn最大;(2)2p?q为奇数?当n?p?q?1p?q?1或时Sn最大. 22
2.等差数列?an?中,a1?2,S10?15,记Bn?a2?a4?a8?最大值. 【答案】4
?a2n,则当n?__________时,Bn取得