发布时间 : 星期四 文章高中数学：1.4《简单的计数问题》（二） 教案(北师大选修2-3)更新完毕开始阅读eaa7d8a70a4c2e3f5727a5e9856a561253d32118
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1.4简单的计数问题
教学目标
（1）掌握排列组合一些常见的题型及解题方法，能够运用两个原理及排列组合概念解决排列组合问题；
（2）提高合理选用知识解决问题的能力． 教学重点，难点
排列、组合综合问题． 教学过程 一．数学运用 1．例题：
例1．2名女生，4名男生排成一排．
（1）2名女生相邻的不同排法共有多少种？ （2）2名女生不相邻的不同排法共有多少种？
（3）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？
5A5解：（1）“捆绑法”：将2名女生看成一个元素，与4名男生共5个元素排成一排，共有种522AA2?240． A52排法，又因为2名相邻女生有种排法，因此不同的排法种数是
（2）方法一：（插空法）
分两步完成：
4A4第一步，将4名男生排成一排，有种排法；
第二步，排2名女生．由于2名女生不相邻，故可在4名男生之间及两端的5个位置中选出2
2A5个排2名女生，有种排法．
42AA5?480种． 4根据分步计数原理，不同的排法种数是
方法二：（间接法）
因为2名女生的排法只有相邻与不相邻两种情况，所以由（1）的结果可知，2名女生不相邻
652A?AA2?480种． 65的不同排法共有
（3）方法一：（特殊元素优先考虑）
分2步完成：
2C6第一步，排2名女生．由于女生顺序已定，故可从6个位置中选出2个位置，即；第二步，4A4排4名男生．将4名男生排在剩下的4个位置上，有种方法．
24CA?360．
根据分步计数原理，不同的排法种数是64方法二：（除法）
62AA62如果将6名学生全排列，共有种排法．其中，在男生位置确定之后，女生的排法数有种，2A2因为女生的顺序已定，所以在这中排法中，只有一种符合要求，
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6A6?3602A故符合要求的排法数为2种．
例2．高二（1）班有30名男生，20名女生，从50名学生中 3名男生，2名女生分别担任班
长、副班长、学习委员、文娱委员、体育委员，共有多少种不同的选法？ 解：完成这件事分三步进行：
3C30第一步，从30名男生中选3名男生，有种方法； 2C20第二步，从20名男生中选2名男生，有种方法；
5A5第一步，将选出的5名学生进行分工，即全排列，有种方法． 225CCA?92568000种选法．
根据分步计数原理，共有30205答：共有92568000种不同的选法．
思考：如果上述问题解答分两步：先从30名男生中选3名担任3种不同职务，再从20名女
32AA3020生中选2名女生担任不同职务，则结果为，这样做对吗？为什么？（从30名男生中选33CA3名担任3种不同职务的方法数应为305）
说明：排列、组合综合问题通常遵循“先组合后排列”的原则．
例3．某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内，其中A校定为第一志愿；再从5所一般大学中选3所填在第二档次的三个志愿栏内，其中B、C两校必选，且B在C前．问：此考生共有多少种不同的填表方法？
解：先填第一档次的三个志愿栏：因A校定为第一档次的第一志愿，故第一档次的二、三志
22ACC63B愿有种填法；再填第二档次的三个志愿栏：、两校有种填法，剩余的一个志愿栏1221AACA?270（种）有3种填法．由分步计数原理知，此考生不同的填表方法共有633．例4．有
10只不同的试验产品，其中有4只次品，6只正品，现每次取一只测试，直到4只次品全测
出为止，求最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？ 解：本题的实质是，前五次测试中有1只正品，4只次品，且第五次测试的是次品．
CC思路一：设想有五个位置，先从6只正品中任选1只，放在前四个位置的任一个上，有64种
4A44方法；再把只次品在剩下的四个位置上任意排列，有种排法．故不同的情形共有114C6C4A4?576种．
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五．回顾小结：
（1）解决有关计数的应用题时，要仔细分析事件的发生、发展过程，弄清问题究竟是排列问题还是组合问题，还是应直接利用分类计数原理或分步计数原理解决．一个较复杂的问题往往是分类与分步交织在一起，要准确分清，容易产生的错误是遗漏和重复计数； （2）解决计数问题的常用策略有：（1）特殊元素优先安排；（2）排列组合混合题要先选（组合）后排；（3）相邻问题捆绑处理（先整体后局部）；（4）不相邻问题插空处理；（5）顺序一定问题除法处理；（6）正难则反，合理转化． 六．课外作业：
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