发布时间 : 星期六 文章2020年中考数学人教版专题复习：垂径定理更新完毕开始阅读eae528b0ce22bcd126fff705cc17552707225e1f
2020年中考数学人教版专题复习：垂径定理
一、考点突破
1. 掌握垂径定理及推论的内容及证明。 2. 应用垂径定理解决问题。
二、重难点提示
重点：理解垂径定理与推论的关系。 难点：应用知识解决实际问题。
考点精讲垂径定理及其推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
劣弧中点、优弧中点、弦中点、直径、垂直这五个元素，知二推三。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
如果AB∥CD，则AC=BD。
【要点诠释】如果直径平分的弦是直径，则会出现如图所示的情况，直径不一定垂直弦。
??
典例精析
例题1 已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB＝8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ ）
A. 25cm
B. 45cm D. 23cm或43cm
C. 25cm或45cm 论。
答案：解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm， ∴AM＝
思路分析：先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨
11AB＝×8＝4cm，OD＝OC＝5cm， 22当C点位置如图1所示时， ∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB， ∴OM＝OA2?AM2＝52?42＝3cm， ∴CM＝OC＋OM＝5＋3＝8cm， ∴AC＝AM2?CM2＝42?82＝45cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM＝3cm， ∵OC＝5cm， ∴MC＝5－3＝2cm， 在Rt△AMC中，AC＝故选C。
AM2?MC2＝42?22＝25cm，
技巧点拨：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键。
例题2 如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，点B为劣弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为（ ）
A.
2
B. 1 C. 2
D. 22
思路分析：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，根据轴对称确定最
短路线问题可得AB′与MN的交点，即为PA＋PB的值最小时的点，根据外角知识求出∠AON＝60°，然后求出∠BON＝30°，再根据对称性可得∠B′ON＝∠BON＝30°，然后求出∠AOB′＝90°，从而判断出△AOB′是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AB′＝2OA，即为PA＋PB的最小值。
答案：解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′， 则AB′与MN的交点即为PA＋PB的最小时的点，PA＋PB的最小值＝AB′， ∵∠AMN＝30°，∠AMN＝∠A， ∴∠AON＝2∠AMN＝2×30°＝60°， ∵点B为劣弧AN的中点， ∴∠BON＝
11∠AON＝×60°＝30°， 22由对称性，∠B′ON＝∠BON＝30°，
∴∠AOB′＝∠AON＋∠B′ON＝60°＋30°＝90°， ∴△AOB′是等腰直角三角形， ∴AB′＝2OA＝2×1＝2， 即PA＋PB的最小值＝2。 故选A。
技巧点拨：本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到△AOB′是等腰直角三角形是解题的关键。 提分宝典
来源:Z+xx+k.Com]
1. 与垂径定理有关的计算中，连接半径构建直角三角形，利用勾股定理求解是常用的方例题 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，若AB＝8，CD＝2，求半
法。 径的长。
答案：解：连接OA， ∵OC⊥AB，AB＝8， ∴AD＝4， ∵DC＝2， ∴OD＝OC－2，
∵OA＝OC，
∵OA?AD?OD，
OA?4??OA?2?，
222222解得OA＝5。
2. 在条件中如果出现了弦的中点或弧的中点等条件时，连接圆心与这些中点，是常用的辅助线的作法。 【针对训练】
如图，半径为6cm的⊙O中，C、D为直径AB的三等分点，点E、F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE＝∠BDF＝60°，连接AE、BF，则图中两个阴影部分的面积为__________cm2。
来源学科网ZXXK]
思路分析：作三角形DBF的轴对称图形，得到三角形AGE，三角形AGE的面积就是阴影部分的面积。
答案：解：如图，作△DBF的轴对称图形△HAG，作AM⊥CG，ON⊥CE， ∵△DBF的轴对称图形△HAG，
由于C、D为直径AB的三等分点，则H与点C重合 ∴△ACG≌△BDF， ∴∠ACG＝∠BDF＝60°， ∵∠ECB＝60°， ∴G、C、E三点共线， ∵AM⊥CG，ON⊥CE， ∴AM∥ON， ∴
AMAC2??， ONOC13?OC， 2在Rt△ONC中，∠OCN＝60°， ∴ON＝sin∠OCN?OC＝∵OC＝
1OA＝2，∴ON＝3， 3∴AM＝23，