发布时间 : 星期六 文章高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其线性运算3.1.2共面向量定理学案苏教版选修更新完毕开始阅读eb1072c3591b6bd97f192279168884868662b894
类型三 向量共线定理的理解与应用
—→—→
例3 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E＝2ED1，F在对角线A1C—→2→上，且A1F＝FC.
3
求证：E，F，B三点共线.
反思与感悟 (1)判定共线：判定两向量a，b(b≠0)是否共线，即判断是否存在实数λ，使
a＝λb.
(2)求解参数：已知两非零向量共线，可求其中参数的值，即利用若a∥b，则a＝λb(λ∈R). (3)判定或证明三点(如P，A，B)是否共线： →→①是否存在实数λ，使PA＝λPB； →→→
②对空间任意一点O，是否有OP＝OA＋tAB；
→→→
③对空间任意一点O，是否有OP＝xOA＋yOB(x＋y＝1).
→→
跟踪训练3 如图，在四面体ABCD中，点E，F分别是棱AD，BC的中点，用AB，CD表示向量→
EF.
类型四 共面向量定理及应用
例4 如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连结PA，PB，PC，PD，点E，
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F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心，应用向量共面定理证明：E，F，G，H四点共面.
引申探究
→→→
本例中增加以下条件：若点O是AC与BD的交点，点M为PC的中点，求证：OM，PD，BC共面.
反思与感悟 向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值. →1→1→1→→
跟踪训练4 已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M，满足OM＝OA＋OB＋OC，判断MA，
333→→
MB，MC三个向量是否共面.
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知下列各式：
→→→→—→—→→→→—→—→
①(AB＋BC)＋CC1；②(AA1＋A1D1)＋D1C1；③(AB＋BB1)＋B1C1；④(AA1＋A1B1)＋B1C1.其中运算→
的结果为AC1的有________个.
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→→→→→
2.化简2AB＋2BC＋3CD＋3DA＋AC＝________.
→→→
3.设e1，e2是平面内不共线的向量，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，若A，B，
D三点共线，则k＝________.
4.以下命题：
①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量； ②共线的两个向量互相平行；
③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量； ④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量. 其中正确命题的序号是________.
5.已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下列各条件下的点P与点A，B，M是否共面.
→→→→→→→→(1)OB＋OM＝3OP－OA；(2)OP＝4OA－OB－OM.
1.空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接.
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果. 2.证明空间向量共面或四点共面的方法 (1)利用共面向量证明.
→→→→
(2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有OP＝xOA＋yOB＋zOC，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面.
(3)用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行.
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答案精析
问题导学 知识点一
思考 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量. 梳理 (1)大小 方向 长度 模 长度 →
|a|或|AB| (2)零向量 模为1 相等 相反 相同 相等 同向 等长 知识点二
1.a＋c a－b －c λa
2.①b＋a ②a＋(b＋c) ③λa＋λb 知识点三
1.平行 重合 a∥b 零向量 2.b＝λa 知识点四
思考1 不成立.当p与a，b都共线时，存在不惟一的实数组(x，y)使p＝xa＋yb成立.当p与a，b不共线时，不存在(x，y)使p＝xa＋yb成立.即当a，b共线时，共面向量定理的结论不成立.
思考2 不一定.若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段可以平移到同一个平面内，它们所在的直线平行、相交、异面都有可能. 梳理 p＝xa＋yb 题型探究
→—→→—→
例1 解 (1)与向量AB相等的所有向量(除它自身之外)有A1B1，DC及D1C1，共3个. —→—→—→—→—→
(2)向量AA1的相反向量为A1A，B1B，C1C，D1D. →(3)|AC1|＝
2
2
→2→2→2 |AB|＋|AD|＋|AA1|
2
＝2＋2＋1＝9＝3. 引申探究
—→—→—→—→—→
解 ①由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量AA′，A′A，BB′，B′B，CC′，
C′C，DD′，D′D，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共
有8个.
—→——→——→②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为5，故模为5的向量有AD′，D′A，A′D，
—→——→——→
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