发布时间 : 星期一 文章高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其线性运算3.1.2共面向量定理学案苏教版选修更新完毕开始阅读eb1072c3591b6bd97f192279168884868662b894
——→——→——→——→——→DA′，BC′，C′B，B′C，CB′.
→——→——→——→
③与向量AB相等的所有向量(除它自身之外)有A′B′，DC及D′C′. ——→——→——→——→——→④向量AA′的相反向量有A′A，B′B，C′C，D′D. 跟踪训练1 ①② ——→
例2 (1)AD′. →(2)AC.
——→——→
向量AD′、AC′如图所示.
引申探究 0.
跟踪训练2 证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形， →→→——→→——→∴AC＝AB＋AD，AB′＝AB＋AA′， ——→→——→AD′＝AD＋AA′， →——→——→∴AC＋AB′＋AD′ →→→——→＝(AB＋AD)＋(AB＋AA′)＋ →——→(AD＋AA′) →→——→＝2(AB＋AD＋AA′). ——→——→→→又∵AA′＝CC′，AD＝BC， →→——→→→——→∴AB＋AD＋AA′＝AB＋BC＋CC′ →——→——→＝AC＋CC′＝AC′. →—→—→—→∴AC＋AB′＋AD′＝2AC′.
→→→
例3 解 设AB＝a，AD＝b，AA1＝c， →→→2→因为A1E＝2ED1，A1F＝FC，
3→2—→→2→所以A1E＝A1D1，A1F＝A1C，
35→2→2
所以A1E＝AD＝b，
33
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A1F＝(AC－AA1)
2→→→＝(AB＋AD－AA1) 5222＝a＋b－c. 555
42→→→2
所以EF＝A1F－A1E＝a－b－c
515522
＝(a－b－c). 53
22→→→→
又EB＝EA1＋A1A＋AB＝－b－c＋a＝a－b－c，
33→2→
所以EF＝EB，
5
→→
又因为EF与EB有公共点E， 所以E，F，B三点共线. →1→1→
跟踪训练3 EF＝AB－CD.
22
例4 证明 分别延长PE，PF，PG，PH交对边于M，N，Q，R.如图所示，
→
2→
5
→
因为E，F，G，H分别是所在三角形的重心， 所以M，N，Q，R为所在边的中点，
→2→→2→
顺次连结M，N，Q，R，所得四边形为平行四边形，且有PE＝PM，PF＝PN，
33
PG＝PQ，PH＝PR.
因为MNQR为平行四边形， →→→
所以EG＝PG－PE 2→2→2→＝PQ－PM＝MQ 3332→→＝(MN＋MR) 3
2→→2→33
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2→→2→→＝(PN－PM)＋(PR－PM) 3323→3→23→3→＝(PF－PE)＋(PH－PE) 322322→→＝EF＋EH.
所以由共面向量定理得E，F，G，H四点共面. 引申探究
证明 取CD的中点N，连结ON，NM，
因为M，N分别是PC，CD的中点， 1
所以PD∥MN，MN＝PD，
2→所以NM＝ 1→－PD， 2
1→→
同理可得NO＝－BC，
2→→→又因为OM＝NM－NO， 1→1→→
所以OM＝－PD＋BC，
22→→→
所以OM，PD，BC共面.
→→→
跟踪训练4 MA，MB，MC三个向量共面 当堂训练
1.4 2.0 3.－8 4.②④
→→→→
5.解 (1)原式可变形为OB＝3OP－OA－OM. ∵3＋(－1)＋(－1)＝1， ∴点B与点P，A，M共面， 即点P与点A，B，M共面. →→→→
(2)原式为OP＝4OA－OB－OM. ∵4＋(－1)＋(－1)＝2≠1，
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∴点P与点A，B，M不共面.
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